1.如图,AB和CD交于点O,求证:∠A+∠C=∠B+∠D .
证明:如图,在△AOC中,∠COB是一个外角,
由外角的性质可得:∠COB=∠A+∠C,
同理:在△BOD中,∠COB=∠B+∠D,
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
看,就是这么简单!简单到学这个模型都没啥意思。但是我想说,有了这个8字型意识,后面的题才好做哦。
重要结论:“8”字形图:∠A+∠C=∠B+∠D;
总结升华:8字模型看起来特别简单,在复杂几何图形推导角时往往有巧妙的作用。因为模型像数字8,所以我们称为8字模型。
接下来用8字型练习一下吧。
2.如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°,则∠C等于( ).
A、40° B、65° C、75° D、115°
【答案】B.
这道题简单,看下一题开始妙解咯。
3.如图所示,五角星ABCDE中,试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
解析:这道题可用外角的性质来解,我们这里介绍一下用8字模型解此题,很巧妙,请看:
如下图所示,连接CD,由8字模型可得:∠B+∠E=∠1+∠2.
在△ACD中,∠A+∠ACD+∠ADC=180°
即∠A+∠ACO+∠1+∠2+∠ADO=180°
∴∠A+∠ACO+∠ADO+∠B+∠E=180°
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
接下来,练一题感受一下8字模型。
4.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________. (“缙云杯“试题)
【答案】180°
难度提升,开始做综合题。这样才能感受8字模型带来的好处!
5.(2015春·启东市校级月考)如图,BE与CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线,EF为∠BED的平分线.
(1)试探求:∠F与∠B、∠D之间的关系?
(2)若∠B:∠D:∠F=2:4:x.求x的值.
【思路分析】(1)先根据角平分线的定义得到∠1=∠2,∠3=∠4,如下图所示。 再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到∠D+∠1=∠F+∠3,∠B+∠4=∠F+∠2,然后把两式相加即可得到∠F与∠B、∠D之间的关系;
(2)设∠B=2a,则∠D=4a,∠F=ax,利用(1)中的结论得到2ax=2a+4a,然后解关于x的方程即可.
【解题过程】(1)∵CF为∠BCD的平分线,EF为∠BED的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠D+∠1=∠F+∠3,(8字模型)
∠B+∠4=∠F+∠2,
∴∠B+∠D+∠1+∠4=2∠F+∠3+∠2,
∴∠F=1/2(∠B+∠D);
(2)当∠B:∠D:∠F=2:4:x时,设∠B=2a,则∠D=4a,∠F=ax,
∵2∠F=∠B+∠D,
∴2ax=2a+4a
∴2x=2+4,
∴x=3.
明白了就可以练习下面一道综合题,有点难度的哟!
6.平面内,四条线段AB,BC,CD,DA首尾顺次连接,∠ABC=24°,∠ADC=42°.
(1)∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M(如图1),求∠AMC的大小.
(2)点E在BA的延长线上,∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N(如图2),
求∠ANC.
这道练习题有难度,特别是第2问。那我就把解题过程写一下吧。
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