【题目】
(2018·玉林)如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x²+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得△PCB≌△BOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m.
(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;
(2)当m为何值时,△MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;
(3)求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标.
【答案】
解:(1)当y=c时,有c=﹣x²+bx+c,
解得:x1=0,x2=b,
∴点C的坐标为(0,c),点P的坐标为(b,c).
∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,3),
∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b.
∵△PCB≌△BOA,
∴BC=OA,CP=OB,
∴b=3,c=4,
∴点P的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x²+3x+4.
(2)当y=0时,有﹣x²+3x+4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴点F的坐标为(4,0).
过点M作ME∥y轴,交直线AB于点E,如图1所示.
∵点M的横坐标为m(0≤m≤4),
∴点M的坐标为(m,﹣m²+3m+4),点E的坐标为(m,﹣3m+3),
∴ME=﹣m²+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m²+6m+1,
∴S=1/2OA·ME=﹣1/2m²+3m+1/2=﹣1/2(m﹣3)²+5.
∵﹣1/2<0,0≤m≤4,
∴当m=0时,S取最小值,最小值为1/2;当m=3时,S取最大值,最大值为5.
(3)
①当点M在线段OP上方时,∵CP∥x轴,
∴当点C、M重合时,∠MPO=∠POA,
∴点M的坐标为(0,4);
②
【方法一】
当点M在线段OP下方时,在x正半轴取点D,连接DP,使得DO=DP,此时∠DPO=∠POA.
设点D的坐标为(n,0),则DO=n,DP=√((n-3)²+(0-4)²),
∴n²=(n﹣3)²+16,
解得:n=25/6,
∴点D的坐标为(25/6,0).
【方法二】
过点P作PN⊥x轴,垂足为N,
所以点N的坐标为(3,0),
设PM与x轴的交点D的坐标为(x,0),
由∠MPO=∠POA,得PD=OD,
所以在Rt△PDN中,
PD²=PN²+ND²,即x²=4²+(x-3)²,
所以x=25/6,点D的坐标为(25/6,0).
【方法三】
作PO的垂直平分线ND分别交PO,x轴于点N,D,
易得点N的坐标为(1.5,2),
直线PO的解析式为y=4/3x,
由PO与ND垂直,易得直线ND的k=-3/4,
所以直线ND的解析式为y=-3/4x+25/8,
当y=0时,x=25/6,点D的坐标为(25/6,0).
设直线PD的解析式为y=kx+a(k≠0),
将P(3,4)、D(25/6,0)代入y=kx+a,
3k+a=4,25/6 k+a=0,解得:k=-24/7,a=100/7,
∴直线PD的解析式为y=﹣24/7x+100/7.
联立直线PD及抛物线的解析式成方程组,得:y=-24/7 x+100/7,y=-x²+3x+4,
解得:x_1=3,y_1=4,x_2=24/7,y_2=124/49.
∴点M的坐标为(24/7,124/49).
综上所述:满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为(0,4)或(24/7,124/49).
【总结】
如图,∠ABC,在平面内找一点D,使得∠DCB=∠ABC.
那么点D在哪里呢?
问题需要分类讨论,因为点D有可能位于直线BC的上方,也有可能位于下方.如图所示:
①当点D位于BC上方时,易得∠DCB与∠ABC构成一个等腰三角形;
②当点D位于BC下方时,易得直线AB∥CD.
联系客服