几何画板解析2017年浙江温州中考倒三 （函数相关）

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2017年浙江温州中考倒三（函数相关）

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（2017·浙江温州）如图，过抛物线y=0.25x²﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

    ①连结BD，求BD的最小值；

    ②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

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图文解析：

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（1）常规题，简析如下：

法一：由题意A（﹣2，5），对称轴x=4，

(根据对称轴为直线x=－b/2a)

　∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．

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法二：先求出A（﹣2，5），把y=5代入原解析式，得0.25x²﹣2x＝5，即x²﹣8x－20＝0，解得x₁=－2，x₂=10，∴B（10，5）．

（2）①认真观察动画（自动演示）

  如下图示，当点P在运动时，根据对称的性质知，OD＝OC＝5（为定值），因此点D在以O为圆心OC为半径的圆上，所以当O、D、B共线时，BD的最小值为：

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②当点D在对称轴上时，如下图示：

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根据对称的性质，可添加如下图所示的辅助线；

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得到D（4，3）.P点坐标可通过：

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设PC=PD=t，在Rt△PDK中，

              t²=（4﹣t）²+2²，解得t=2.5，

       P（2.5，5），

       最后，若设直线PD为y=kx+b，把B、P两点坐标代入，解得：k=-4/3，b=25/3.

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反思：解题的关键是熟练掌握二次函数和对称的性质，结合因动点产生的D点运动路径为圆弧，因此可以利用辅助圆解决最短问题．

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