(时间:120分钟 满分:150分 命题人：周蓉)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.计算:log225·log52=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:log225·log52=3,故选A.
答案:A
2.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )
A.y= B.y=x4 C.y=x-1 D.y=x3
解析:选项A中,y=既不是奇函数也不是偶函数;选项B中,y=x4是偶函数,且过点(0,0),(1,1),满足题意;选项C中,y=x-1是奇函数;选项D中,y=x3也是奇函数,均不满足题意.故选B.
答案:B
3.已知函数f(x)=则f的值为 ( )
A.27 B. C.-27 D.-
解析:∵f=log2=-3,
∴f=f(-3)=3-3=.
答案:B
4.满足'对定义域内任意实数x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)'的函数可以是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x
解析:f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).
答案:C
5.函数f(x)=的定义域为( )
A.[-2,2 B.(-1,2
C.[-2,0)∪(0,2 D.(-1,0)∪(0,2
解析:要使函数有意义,x应满足解得-1<x<0或0<x≤2,所以该函数的定义域为(-1,0)∪(0,2 .故选D.
答案:D
6.
导学号03814047三个数a=0.72,b=log20.7,c=20.7之间的大小关系是( )
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<a<c D.b<c<a
解析:∵0<a=0.72<1,b=log20.7<0,c=20.7>1.
∴b<a<c.故选C.
答案:C
7.如果一种放射性元素每年的衰减率是8 ,那么a g的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )
A.lg B.lg
C. D.
解析:设t年后剩余量为y g,则y=(1-8 )ta=0.92ta.当y=a时,a=0.92ta,
所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=.
答案:C
8.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
解析:若0<a<1,则函数g(x)=logax的图象过点(1,0),且单调递减,函数y=xa(x≥0)单调递增,且当x∈[0,1)时图象应在直线y=x的上方,因此A,B均错;若a>1,则函数g(x)=logax的图象过点(1,0),且单调递增,但当x∈[0,1)时,y=xa的图象应在直线y=x的下方,故C选项错误;只有D项正确.
答案:D
9.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是( )
A.(0,2 B.[-2,+∞)
C.(-∞,-2 D.[2,+∞)
解析:-x2+3x+4=-,又-x2+3x+4>0,则0<-x2+3x+4≤,函数y=log0.4X在(0,+∞)内为减函数,则y=log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4=-2,故函数的值域为[-2,+∞),选B.
答案:B
10.若函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7 ,则f(x)的定义域为( )
A.(-1,1)∪[2,4 B.(0,1)∪[2,4
C.[2,4 D.(-∞,0 ∪[1,2
解析:设t=2x,则t>0,且y=t2-3t+3=.∵函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7 ,
∴函数y=t2-3t+3的值域为[1,7 .
由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),则0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2.
∴f(x)的定义域是(-∞,0 ∪[1,2 ,故选D.
答案:D
11.如图,点O为坐标原点,点A(1,1).若函数y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且b≠1)的图象与线段OA分别交于M,N,且M,N恰好是OA的两个三等分点,则a,b满足( )
A.a<b<1 B.b<a<1
C.b>a>1 D.a>b>1
解析:由题图,得,即a=,logb,即,b==a,且b==1,即a<b<1.故选A.
答案:A
12.已知函数y=的图象与函数y=logax(a>0,a≠1)的图象交于点P(x0,y0),如果x0≥2,那么a的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[4,+∞)
C.[8,+∞) D.[16,+∞)
解析:由已知中两函数的图象交于点P(x0,y0),
由指数函数的性质可知,若x0≥2,
则0<y0≤,即0<logax0≤,
由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16,故选D.
答案:D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如果幂函数f(x)的图象过点,那么f(64)= .
解析:设幂函数f(x)=xα(α为常数),将代入,求得α=-,则f(x)=,
所以f(64)=6.
答案:
14.已知(1.40.8)a<(0.81.4)a,则实数a的取值范围是 .
解析:∵1.40.8>1,0<0.81.4<1,且(1.40.8)a<(0.81.4)a,
∴y=xa为减函数,∴a的取值范围是(-∞,0).
答案:(-∞,0)
15.设函数f(x)=则f(3)+f(4)= .
解析:∵f(x)=
∴f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,
∴f(3)+f(4)=2+log69+log64=2+log636=2+2=4.
答案:4
16.已知函数f(x)=|log3x|的定义域为[a,b ,值域为[0,1 ,若区间[a,b 的长度为b-a,则b-a的最小值为 .
解析:画出函数图象,如图所示.
函数f(x)=|log3x|在区间[a,b 上的值域为[0,1 ,
当|log3x|=0时,x=1,
当|log3x|=1时,x=或3.
由图可知,b-a的最小值为1-.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)计算:
(1)+0.2-2-π0+;
(2)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316.
解(1)+0.2-2-π0+
=-1+(3-3
=+25-1+3=.
(2)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316
=log3[32×(33)2 +(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36 +log22+(log43)×2(log34)
=log338+1+2=8+1+2=11.
18.(本小题满分12分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(8,m)和(9,3).
(1)求实数m的值;
(2)若函数g(x)=af(x)(a>0,a≠1)在区间[16,36 上的最大值等于最小值的两倍,求实数a的值.
解(1)设f(x)=xα,依题意可得9α=3,
∴α=,f(x)=,
∴m=f(8)==2.
(2)g(x)=,∵x∈[16,36 ,
∴∈[4,6 ,
当0<a<1时,g(x)max=a4,g(x)min=a6,由题意得a4=2a6,解得a=;
当a>1时,g(x)max=a6,g(x)min=a4,
由题意得a6=2a4,解得a=.
综上,所求实数a的值为.
19.
导学号03814048(本小题满分12分)已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求不等式loga(3x+1)<loga(7-5x);
(3)若函数y=loga(2x-1)在区间[1,3 有最小值为-2,求实数a的值.
解(1)∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,即3a<3,
∴a<1.又∵a>0,∴0<a<1.
(2)由(1)知0<a<1,∵loga(3x+1)<loga(7-5x).
∴
∴<x<,即不等式的解集为.
(3)∵0<a<1,∴函数y=loga(2x-1)在区间[1,3 上为减函数.
∴当x=3时,y有最小值为-2,即loga5=-2,
∴a-2==5,解得a=.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(m∈)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax (a>0,且a≠1)在区间[2,3 上为增函数,求实数a的取值范围.
解(1)∵f(x)为偶函数,∴-2m2+m+3为偶数.
又f(3)<f(5),∴,
即有<1.
∴-2m2+m+3>0,∴-1<m<.
又m∈,∴m=0或m=1.
当m=0时,-2m2+m+3=3为奇数(舍去);
当m=1时,-2m2+m+3=2为偶数,符合题意.
∴m=1,f(x)=x2.
(2)由(1)知,g(x)=loga[f(x)-ax =loga(x2-ax)(a>0,且a≠1)在区间[2,3 上为增函数.
令u(x)=x2-ax,y=logau,
①当a>1时,y=logau为增函数,只需u(x)=x2-ax在区间[2,3 上为增函数,
即⇒1<a<2;
②当0<a<1时,y=logau为减函数,只需u(x)=x2-ax在区间[2,3 上为减函数,
即⇒a∈⌀.
综上可知,实数a的取值范围为(1,2).
21.
导学号03814049(本小题满分12分)已知函数f(x)=-.
(1)用定义证明函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(2)若x∈[1,2 ,求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=+f(x),且当x∈[1,2 时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域为R,设x1,x2∈R且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=.
∵x1<x2,∴>0.
又+1>0,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,∴当x∈[1,2 时,f(x)min=f(2)=-,f(x)max=f(1)=-.
∴当x∈[1,2 时,f(x)的值域为.
(3)由(2)得,当x∈[1,2 时,f(x)∈,
∵g(x)=+f(x),∴当x∈[1,2 时,g(x)∈.
∵g(x)≥0在x∈[1,2 上恒成立,
∴≥0,∴a≥.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log2(mx2-2mx+1),m∈R.
(1)若函数f(x)的定义域为R,求m的取值范围;
(2)设函数g(x)=f(x)-2log4x,若对任意x∈[0,1 ,总有g(2x)-x≤0,求m的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域为R,即mx2-2mx+1>0在R上恒成立.
当m=0时,1>0恒成立,符合题意;
当m≠0时,必有
解得0<m<1.
综上,m的取值范围是[0,1).
(2)∵g(x)=f(x)-2log4x=f(x)-log2x,
∴g(2x)-x=f(2x)-2x=log2(m·22x-2m·2x+1)-2x.
对任意x∈[0,1 ,总有g(2x)-x≤0,等价于log2(m·22x-2m·2x+1)≤2x=log222x在x∈[0,1 上恒成立.
即在x∈[0,1 上恒成立. ( )
设t=2x,则t∈[1,2 ,t2-2t≤0(当且仅当t=2时取等号).
( )式⇔在t∈[1,2 上恒成立. ( )
当t=2时,( )式显然成立.
当t∈[1,2)时,在t∈[1,2)上恒成立.
令u(t)=-,t∈[1,2).只需m<u(t)min.
∵u(t)=-=-在区间[1,2 上单调递增,
∴m<u(t)min=u(1)=1.
令h(t)=,t∈[1,2).只需m≥h(t)max.
而t2-1>0,t2-2t<0,且h(1)=0,
∴≤0.故m≥0.
综上,m的取值范围是[0,1).
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