函数的概念及其表示方法1.下列式子中不能表示函数
y=f(x)的是( )
A.
x=y2+1 B.
y=2x2+1 C.
x−2y=6 D.
x=√y【查看答案】【答案】A
【解析】
对于A,由x=y2+1得y2=x−1,当x=5时,y=±2,故y不是x的函数;
对于B, y=2x2+1是二次函数;
对于C,由x−2y=6得y=12x-3,是一次函数;
对于D,由x=√y得y=x2(x≥0),是二次函数的一部分.故选A.
2.已知函数
f(x+1)=2x−1,则
f(2)的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【查看答案】【答案】B
【解析】
令x+1=2,则x=1, ∴f(2)=2×1−1=1.故选B.
3.若函数
y=
x3+1(x∈A)的值域为
{1 , 0},则集合
A为( )
A.
{2,9} B.
{0, 1} C.
{0 ,−1} D.
{2,5}【查看答案】【答案】C
【解析】
因为函数y=x3+1(x∈A)的值域为{1 , 0},所以x3+1=0或x3+1=1,得x=0或x=−1,则A={0 ,−1}.
4.函数
y=√4−(12)x−1的定义域是( )
A.
[1,+∞) B.
[−1 ,+∞) C.
(−∞ , 1] D.
(−∞,−1]【查看答案】【答案】B
【解析】
由题意知4−(12)x−1≥0,则x−1≥−2,所以x≥−1,
故函数y=√4−(12)x−1的定义域为[−1 ,+∞).
5.下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A.
y=
1,y=
xx B.
y=
√x−1×√x+1,y=
√x2−1 C.
y=
x,y=
3√x3 D.
y=
|x|,y=
(√x)2【查看答案】【答案】C
【解析】
A.这两个函数的定义域不同,所以不是同一函数;
B.这两个函数的定义域不同,所以不是同一函数;
C.这两个函数的定义域、值域与对应关系均相同,所以是同一函数;
D.这两个函数的定义域不同,所以不是同一函数,故选C.
6.下列函数中,值域是
(0,+∞)的是( )
A.
y=√x2−3x+1 B.
y=1x2 C.
y=x2+x+1 D.
y=2x+1(x>0)【查看答案】【答案】B
【解析】
A. y=√x2−3x+1≥0,不符合题意;
B. y=1x2>0,满足题意;
C. y=x2+x+1≥34,不满足题意;
D. y=2x+1(x>0)>1,不满足题意,故选B.
7.已知函数
f(x)=√mx2+mx+1的定义域是
R,则
m的取值范围是( )
A.
0<m≤4 B.
0≤m≤1 C.
m≥4 D.
0≤m≤4【查看答案】【答案】D
【解析】
当m=0时,函数f(x)=1的定义域是R;
当m≠0时,因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R,所以{ m>0 m2−4m≤0 ,所以0<m≤4.
综上可得, m的取值范围是0≤m≤4.
8.已知函数
y=f(2x−1)的定义域是
[0,1],则
f(2x+1)log2(x+1)的定义域是( )
A.
[1,2] B.
(−1,1] C.
[−12,0] D.
(−1,0)【查看答案】【答案】D
【解析】
依题意,当0≤x≤1时, −1≤2x−1≤1,则函数f(x)的定义域为[−1,1],
要使f(2x+1)log2(x+1)有意义,则{ −1≤2x+1≤1 x+1>0 x+1≠1 ,解得−1<x<0,故选D.
9.已知函数
f(x)的值域为
[−32,38],则函数
g(x)=
f(x)+√1−2f(x)的值域为( )
A.
[12,78] B.
[12,1] C.
[78,1] D.
(0,12]∪[78,+∞)【查看答案】【答案】B
【解析】
设√1−2f(x)=t,由f(x)的值域为[−32,38]可得t∈[12,2],则f(x)=1−t22,则y=1−t22+t=−12t2+t+12在t=1时取得最大值1,在t=2时取得最小值12.
故所求的值域为[12,1].
10.集合
{x|−1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为______.
【查看答案】【答案】
[−1,0)∪(1,2]
【解析】
根据区间的概念可知集合{x|−1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为[−1,0)∪(1,2].
11.已知f(3
x)=x+2,若f(a)=1,则a=______.
【查看答案】【答案】13
【解析】
因为f(3x)=x+2,所以当f(a)=1时,即x=−1,所以a=3−1=13.
12.已知
f(x)=2x+1x,
x∈[1,+∞),则函数
f(x)的值域为______.
【查看答案】【答案】(2,3]
【解析】
因为f(x)=2x+1x=2+1x,x∈[1,+∞),所以01x≤1,则2<2+1x≤3,则函数f(x)的值域为(2,3].
13.若函数
f(−x2+4x−1)的定义域为[0,
m],且可求得函数
f(2x−1)的定义域为
[0,2],则实数
m的取值范围是______.
【查看答案】【答案】2≤m≤4
【解析】
由f(2x−1)的定义域为[0,2]可得f(x)的定义域为[-1,3],
由条件只需x∈(0,m)时,t=−x2+4x−1的值域为[-1,3],
借助数形结合法可得2≤m≤4.
14.已知函数f(x)的定义域为(-1,4].
(1)求函数h(x)=
f(x)√2−x的定义域;
(2)已知函数g(x)=f(
√x-1),求函数g(x)的定义域.
【查看答案】【答案】见解析
【解析】
(1)由函数h(x)的解析式有意义可得{ −1<x≤4 2−x>0 ,解得-1<x<2.
所以函数h(x)的定义域为(-1,2).
(2)设t=√x-1,则g(x)=f(t).
由已知可得函数f(x)的定义域为(-1,4],
所以t∈(-1,4],即√x-1∈(-1,4],解得x∈(0,25].
故函数g(x)的定义域为(0,25].
15.求下列函数的值域:
(1)f(x)=
2x−1x+1;
(2)f(x)=x-
√x+1.
【查看答案】【答案】见解析
【解析】
(1)方法一:因为f(x)= 2(x+1)−3x+1=2-3x+1,所以f(x)≠2,
所以函数f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
方法二:因为y=2x−1x+1,所以x=−y−1y−2,
所以y≠2,所以函数f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(2)令√x+1=t(t≥0),则x=t2-1,
所以y=t2-t-1(t≥0).
因为抛物线y=t2-t-1开口向上,对称轴为直线t=12∈[0,+∞),
所以当t=12时,y取得最小值为-54,无最大值,
所以函数f(x)的值域为[-54,+∞).