「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性

反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。

无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。

无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。

图一

如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。

通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。

那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。）

如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。

由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。

最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。

最后给出解答过程：

图二

虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：

定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。

定理二，假设f(x)在区间[b,+∞)上连续，并且f(x)>=0，并且可以设为极限在x趋向于正无穷的区间上得到的结果存在。

那么就可以得到，如果该结果属于[b,+∞)，且其中x的幂次方大于1，则可以得到该反常积分收敛，则可以得到a+b>1。

当然，还有其他很多定理，这里我就不多讲了，大家自己去看看书，查阅一下资料，总的来说，如果不知道定理，完全可以通过计算定积分的方式来解答出题目，但如果不是太擅长计算定积分的话，那最好可以背诵一下这些定理，有助于解题。

这道题目其实要深究的话还要追溯到一元函数积分学的基本概念，具体的我们后面再讲。

图三