【课程】西南科大网教学院_数学分析27_8. 1反常积分的概念和计算

第八章 反常积分

    从定积分的定义知道：定积分的积分区间是有限闭区间，即上、下限都是有限实数．但是，在一些实际问题中，常常遇到积分区间为无限区间，或者被积函数在积分区间上无界的情况，它们已不属于前面所讲的定积分了．因此，我们需要对定积分作如下两种推广，并且我们称定积分的这两种推广形式为反常积分或“广义积分”．

8. 1反常积分的概念和计算

一、无穷区间的反常积分

    定义8.1.1  设函数

在无穷区间

上有定义，符号

    (1)

称为函数

在

上的广义积分(反常积分)．

    若

上都可积，且极限

                         

                        (2)

.存在，则称广义积分

收敛，该极限值称为

在

上的积分，表为

       

若上述极限（2）不存在，则称广义积分

发散．

    类似地，设

在

上有定义，符号

                          

                         (3)

称为

在

上的广义积分. 若

在

上可积，并且极限

                            

                     (4)

存在，则称广义积分

是收敛的，该极限值称为

在区间

的广义积分，记为

    若极限（4）不存在，则称广义积分

发散．

    如果

在

上有定义，符号

                         (5)

 

称为

在

上的广义积分，若广义积分

                        

                   (6)

都收敛，则称

收敛，并称（6）的两个积分的和为

在

上的积分，表示为：

    若（6）中有一个广义积分发散，则称广义积分

发散．

    上述三种广义积分统称为积分区间为无穷的广义积分(反常积分)．

二、无界函数的反常积分（瑕积分）

定义8.1.2  设函数

在区间

有定义，且

，符号

称为

在区间

的瑕积分，其中点

称为

的瑕点．

    若

可积，且极限

                          

                       (7)

存在，则称瑕积分

收敛，并记

　　若极限（7）不存在，则称瑕积分

发散．

　　类似地，设函数

在区间

有定义，且

，符号

称为

在区间

的瑕积分，其中点

称为

的瑕点．

    若

可积，且极限

                         

                  　　　　  (8)

存在，则称瑕积分

收敛，否则

发散．

　　又设

在[

除

外每一点有定义，且

，符号

也称为

在

的瑕积分．

　　如果两个瑕积分：

与

都收敛，则称瑕积分

收敛，并记

=

+

否则，称瑕积分

发散．上面三种瑕积分，也称为是被积函数为无界的广义积分．