高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解

数学好教师 2020-02-06

不同种元素

分组问题

将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。

1. 平均分组

1

2. 不平均分组

2

3. 部分平均分组

3

分配问题：

如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配

同种元素

分组问题：

1

分配问题：

对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法

常规法：

隔板法：

常规法：

隔板法：

经典练习题

1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。(答案：150种)

2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)

3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)

4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)

5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中

(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)

(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)

6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)