巧用机械能守恒定律解题

　　一、机械能守恒定律的拓展

 

　　随着学习的深入，机械能守恒定律的内容和深度在不断的拓展，由最初的物体在只有重力做功情况下的机械能守恒，拓展到含有弹簧的系统机械能守恒，以及多物体的系统机械能守恒问题。

 

　　机械能守恒定律的条件拓展为：系统内各物体间发生动能、重力势能、弹性势能的相互转移或转化，而没有转化为其他形式的能量时，系统的机械能就守恒。

 

　　二、机械能守恒定律的表达式

 

　　随着机械能守恒定律的拓展，可以从三个角度用方程表达机械能守恒定律。

 

　　1．从守恒的角度

 

　　选取某一平面为零势能面，如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零，系统末状态的机械能和初状态的机械能相等。

 

　　E_k末+E_p末= E_k初+E_p初

 

　　2．从能量转化的角度

 

　　系统的动能和势能发生相互转化时，若系统势能的减少量等于系统动能的增加量，系统机械能守恒。

 

　　ΔE_p减=ΔE_k增

 

　　3．从能量转移的角度

 

　　系统中有A、B两个物体或更多物体，若A机械能的减少量等于B机械能的增加量，系统机械能守恒。

 

　　ΔE_A减=ΔE_B增

 

　　以上三种表达式各有特点，在不同的情况下应选取合适的表达式灵活运用，不要拘泥于某一种，这样问题才能变得简单快捷。下面我们就具体问题来谈谈如何巧用机械能守恒定律解题。

 

　　三、典型例题解析

 

　　例1　如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两根长为l的轻绳相连，置于高为h的光滑水平面上，l＞h，A球刚跨过桌边，若A球、B球相继下落着地后均不再反弹，求C球刚离开桌边时的速度大小。

 

 

　　解析：

 

　　思路1

 

　　取地面为零势能面，设A球落地时速率为v₁，从A球开始运动到落地的过程中，A、B、C三球组成的系统机械能守恒，有：

 

　　

 

　　

 

　　设B球落地时速率为v₂，从A球落地后到B球落地的过程中，B、C两球组成的系统机械能守恒，有：

 

　　

 

　　

 

　　此速度就是C球离开桌边时的速度。

 

　　这是从守恒的角度列式，分别写出系统的初末状态的动能和势能，再列方程求解，这种思路清晰明了，简单易行，需要注意的是能量要一一弄清，不能丢三落四。

 

　　思路2

 

　　在A球落地的过程中，系统减少的势能为ΔE_p减=mgh，系统增加的动能为ΔE_k增=

，由机械能守恒定律得：

 

　　

 

　　在B球落地的过程中，系统减少的势能为ΔE_p减=mgh，系统增加的动能为ΔE_k增=

，由机械能守恒定律得：

 

　　

 

　　这是从势能和动能转化的角度列式，思路也很清晰，需要注意的是势能的减少或动能的增加是系统的，而不是某个物体的。

 

　　巩固练习：如图是一个半径为R的光滑固定圆柱体的横截面，一根轻绳两端各系一个质量均为m的小球A、B而处于静止状态，两球与圆心在同一个水平线上。在受到轻微的扰动后，B球下落，A球上升，求A球到达圆柱体的最高点时对柱面的压力。

 

 

　　解：B球重力势能减少了

，A 球重力势能增加了

，则系统重力势能共减少了

，由机械能守恒定律得：

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　例2　如图所示，粗细均匀，两端开口的U型管内装有同种液体。开始时两边液面高度差为h，管中液体总长度为4h，打开阀门让液体自由流动，不计任何摩擦。求当两侧液面高度相等时，左侧液面下降的速度。

 

　　解析：

 

　　思路1

 

　　象液柱、链条等不能被看做质点的物体，应考虑其重心相对于零势能面的高度差。取开始时右侧液面所在的水平面为零势能面，设长度为h的液体质量为m，由系统机械能守恒定律得：

 

　　

 

　　

 

　　思路2

 

　　可以用填补的等效方法，最终两侧液面等高，可以看成把高出右侧一半高度的液柱填补到右侧，如图所示。则系统重力势能的减少量为

，研究对象是整个液柱，势能的减少是局部的，动能的增加是整个液柱，整个液柱每一小部分的速率都是相等的。

 

 

　　则从能量转化的角度来列式，有：

 

　　

 

　　巩固练习：如图所示，AB为光滑的水平面BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一小段光滑的圆弧轨道相连。一根长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D到B的距离为L－a，现自由释放链条，求链条的D端滑到B点时，链条的速率是多大？

 

 

　　解：可以采用填补法巧妙的解题，将水平面上长（L－a）的链条填补到斜面上链条的下端，由系统势能的减少量等于动能的增加量得：

 

　　

 

　　

 

　　例3　如图所示，质量为m₁的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m₂ 的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m₃的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m₁+m₃）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度大小是多少？已知重力加速度为g。

 

 

　　解析：m₁经过向上加速然后再减速的过程，当弹簧对B产生向上的拉力T，且T=mg时，此时A的速度也刚好减为零，B就刚好离开地面，此时C的速度也为零。

 

　　弹簧由最初的被压缩到最后的被拉长，A上升的高度和C下降的高度为：

 

　　

 

　　设在此过程中弹簧弹性势能的变化量为ΔE_p，根据系统机械能守恒，C重力势能的减少量等于A重力势能的增加量和弹性势能的变化量之和。

 

　　

 

　　将C换成D后，A上升同样的高度，B刚离地，弹性势能的变化量和前一种情况一样，根据系统机械能守恒，D重力势能的减少量等于A重力势能的增加量、A、D动能的增加量和弹性势能的变化量之和。

 

　　

 

　　由以上三式解得：

 

　　

 

　　本题的关键是两次B刚离开地面，弹簧长度变化相同，弹性势能变化量相同，因此巧妙的用ΔE_p来表示这个变化量，而不纠缠于初、末状态弹性势能的多少，这样就抓住了问题的要点，而不至于走向歧途。其实在高中弹性势能的表达式是不要求的，因此凡是遇到弹性势能的问题均可象本题一样去处理。

 

　　例4　如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O，在盘的有边缘固定一个质量为m的小球A，在O点正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B，放开盘让其自由转动。问：

 

　　（1）当A转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

 

　　（2）A球转到最低点时的线速度是多大？

 

　　（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多大？

 

　　

 

　　解析：（1）当A转动到最低点时，A球重力势能减少了

，B球重力势能增加了

，所以，两小球的重力势能之和减少了

 

　　（2）由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，系统机械能守恒，两球重力势能之和的减少等于两球动能的增加，设A球转到最低点时，A、B的线速度分别为v_A、v_B，则：

 

　　

 

　　因两球固定在同一个圆盘上，转动过程中角速度相等，所以v_A=2v_B

 

　　解得：

 

　　（3）设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ，

 

　　此时A、B两球的速度均为零，A的机械能减少了

 

　　

 

　　B的机械能增加了

 

　　

 

　　从能量转移的角度列式得：

 

　　

 

　　又有

 

　　解得：

（舍去负根）

 

　　即θ=37°

 

　　本题也可以规定圆盘中心所在的水平面为零势能面，则有：

 

　　

 

　　这样做也很简捷明了。

 

　　巩固练习：如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上。一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上。在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量

的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M。设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离。

 

 

　　解：重物先向下加速，然后向下减速，当重物速度为零时，下降的距离最大。此时质量为m的重物速度也为零，根据系统机械能守恒，M机械能的减少量等于m机械能的增加量，设下降的最大距离为h 。

 

　　

 

　　

（另解h=0舍去）

 

　　本题如果规定零势能面从守恒角度列式，就显得很不方便，也没有必要。

 

　　四、总结

 

　　对于机械能守恒定律的应用，首先应判断机械能是否守恒，然后要判断能量是如何转化的，这样才能从不同的角度灵活运用机械能守恒的表达式列方程解决问题。我认为这三种表达形式同学们都要掌握，这样才能做到灵活应变，找到最佳解题路径。