几何画板解析2017年江苏苏州中考倒二（几何背景）

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（2017·苏州倒二）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．

（1）求证：△DOE∽△ABC；

（2）求证：∠ODF=∠BDE；

（3）连接OC，设△DOE的面积为S₁，四边形BCOD的面积为S₂，若S₁：S₂＝2：7，求sinA的值．

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【图文解析】

（1）简析：如下图示：

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（2）法一：如下图示，

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       由△DOE～△ABC可得∠A＝∠ODE=∠1+∠3，又∠A＝∠BDC=∠2+∠3（根据“同弧所对的圆周角相等”），所以∠1+∠3＝∠2+∠3，得∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.

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法二：如下图示，

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       由垂径定理得弧BD＝弧BG，进一步得∠2＝∠4，又由OD∥BC得∠1＝∠4，所以∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.

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法三：如下图示，

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       不难证得：∠2＝∠5，而∠5＝∠4，得∠2＝∠4，又由OD∥BC得∠1＝∠4，所以∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.

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（3）法一：如下图示，

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由△DOE∽△ABC得S_△DOE：S_△ABC＝(OD：AB)²=1:4，得到S_△ABC =4S₁，又因OA＝OB，得S_△BOC =2S₁.

       另一方面，由已知S₁：S₂＝2：7可设S₁＝2a，则S₂＝7a，S_△BOC =2S₁＝4a.进一步得到：S_△BOD =3a. S_△BOE =a.如下图示：

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所以S_△DOE：S_△BDE =2a：a＝2：1=OE：BE（因E在OB上）.

       若设BE＝t，则OE＝2t，OD＝OB＝3t，在Rt△DOE中，sin∠ODE＝2t/3t=2/3，并且由（1）可得：∠A＝∠ODE，因此sinA=2/3.

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       法二：如下图示，

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       S₁＝S_△DOE＝0.5Rsinα×Rcosα=0.5R²sinα·cosα.

而S₂＝S_{四边形BCOD}＝S_△BOD+ S_△BOC＝0.5R·Rcosα+0.5·2Rsinα·Rcosα.= 0.5R² cosα+R²sinα·cosα.

所以

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( 已知S₁:S₂＝2:7)

解得sinα=2/3，即sinA=2/3.

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【反思】本题的第2小题的3个解法和第3小题的2个解法，都很有代表性，都值得深思．

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