（2017·攀枝花）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．
（3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．
【图文解析】
（1）简析：将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线的解析式y＝x2＋bx＋c，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解得b＝－4，c＝3，所以抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；
（2）条件第一句，点P在x轴下方的抛物线上，需注意，点P横坐标的取值范围（不妨设其横坐标为n），则1≤n≤3，P（n，n2－4n＋3）；
过点P的直线y＝x＋m，一次函数一次项系数为1，条件反射——该直线与坐标轴夹角为45°；另一方面，直线BC，易求其解析式为y＝－x＋3，同时，注意B、C两点到原点O的距离都为3，即有△OBC为等腰直角三角形，∠OBC＝45°（一次函数一次项系数为－1时，该函数图象与坐标轴夹角为45°），特殊k值的特殊夹角，常常有出其不意的作用．
要求PE＋EF的最大值，先考虑能否将PE、EF连成一条线段，而非如图中所示有重叠部分，常有思路，将其中一段，延长，截取另一段长度与其相等．
想到∠FCE＝45°，CB⊥EF，过C作CG⊥y轴交FE延长线于G，则易证△GCF为等腰直角三角形，即可证EF＝EG，∴PE＋EF＝PE＋EG＝PG．
【反思】
如何利用等腰直角三角形的特性进行边长的转换，是此题能够简便解决的关键．
（3）点D为抛物线上一点，可设D（2，t）．
①△BCD是以BC为直角边的直角三角形，考虑辅助圆，直径所对的圆周角是90°，D在以BD中点I为圆心，BD为直径的圆上．
②若D点在D1D2间，则∠BDC为钝角或平角，△BCD不是锐角三角形，故D点应在D1上方或D2下方．
另一方面，∠DCB、∠DBC也应为锐角，当D在D1上方时，∠DBC必为锐角，只需保证∠DCB＜90°；当D在D2下方时，∠DCB必为锐角，只需保证∠DBC＜90°．
联系客服
