函数的简单基本性质及相关题型与参考课件节选

研究一个函数时，首先必须分析函数的以下基本性质：

1、定义域、值域

2、函数的四个基本性质

(1)有界性

定义 设D为f(x)的定义域，I是D的子集，如果对于I中的任一点，存在M，使得f(x)≤M，则称函数f(x)在I上有上界；如果存在m，使得m≤f(x)，则称函数f(x)在I上有下界．若函数f(x)在I上既有上界也有下界，则称f(x)在I上有界，或称f(x)为I上的有界函数．

●性质 函数f(x)在I上有界的充分必要条件是：存在正常数M，当x∈I时，恒有|f(x)|≤M．

●函数f(x)在I上有界的几何解释：函数y=f(x)(x∈I)的图形位于两平行线y=M和y=-M之间．

●证明函数f(x)在I上有界，就是能够找到一个M，对于任一x∈I，满足|f(x)|≤M.

(2)单调性

定义 设函数f(x)在区间I上有定义．若对于I中任意两点x₁和x₂，当x₁<x₂时，恒有

f(x₁)≤f(x₂)( f(x₁)≥f(x₂))

则称f(x)在区间I上为单调增加（减少）的．若将大于等于号(小于等于号)换成大于号(小于号)，则称函数为严格单调增加(减少)的.

●证明函数单调性的基本方法是定义法，即任取x₁<x₂，判定f(x₁),f(x₂)的大小关系，一般采用相减或者相除的方法来判定.

●严格单调函数为一一映射，函数在严格单调区间上存在反函数.

(3)奇偶性

定义 设函数的定义域D关于原点对称，若对D中任何点x有

f(-x)=f(x)(f(-x)=-f(x))

则称f(x)为D上的偶(奇)函数．

●证明函数的奇偶性采取的方法是直接比较f(-x)与f(x)的关系，如果两者相等，则为偶函数，如果两者的和等于0，则为奇函数.

●在几何上，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称．

(4)周期性

定义 设函数f(x)在R上有定义，若存在正常数T，使对任意x∈R，恒有：f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期．

●周期函数有无穷多个周期．若T为f(x)的周期，则对于任何n∈N，nT也为f(x)的周期.

●在周期函数f(x)的所有周期中，若存在最小正数T，则称T为f(x)的最小正周期，或称为基本周期．并不是所有周期函数都有最小正周期，如常值函数，狄利克雷函数等.

●证明函数为周期函数就是要求能够找到一个正数T，使得对于任意x∈R，恒有：f(x+T)=f(x)成立.

【注】在研究反函数相关的问题时，注意函数y=f(x)的反函数为x=f^-1(y).

3、基于函数的基本性质，通过特殊取点，描绘函数图形的草图

部分参考课件：