有这么一道题，她别处心裁，独具匠心，使人耳目一新；有这么一道题，她巧夺天工，大道至简，让人眼前一亮；有这么一道题，她方法多样，变幻莫测，逼人拍手叫绝.本文将对这道题展开探索之旅，以求做一题，会一类，通一片，学数法.
一、例题呈现
如图1，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且AC＝3，AD平分∠BAC，求AD的长.
二、解法多探
从确定性的角度分析，该图形唯一确定，确定的图形必可求.笔者将从多个角度分析其结构，提供解决此题的多种通法，以求真正揭开她的神秘面纱.
2.1 勾股法
计算边长是最基本的几何问题之一，勾股定理（法）是最重要的解题方法之一.下面笔者提供几种思路，都是通过各种方式构造直角三角形，借助勾股法顺利求解问题：
小结1：以上四种思路都是通过或作垂线、或连接线段、或延长线段等方式，构造直角三角形，借助勾股定理，计算所需边长，这是求边长问题最基本的方法之一，简称为勾股法；
思路3中“见角平分线，作双垂”，如图1－5所示；
思路4中“三线合一逆定理”（“角平分线＋高线→等腰三角形”），如图1－6所示，又是处理角平分线问题的常见策略；
求边长问题，除了常见的勾股法外，还有相似法以及面积法，不妨简称为“勾股相似面积法”，这是求边长问题的“三大法宝”，譬如思路3中的射影定理法就属于相似法中的一种，相比于勾股定理法而言，异常简单.
2.2 相似法
作为初三学子，审题或解题时，要有相似情怀，除了七、八年级常见的勾股法外，要习惯于识别或构造各种基本相似形，利用相似三角形的相关知识来解决问题，下面笔者再提供几种相似法：
小结2：以上几种思路，都是用相似的眼光看问题，识别或构造一些基本相似形，借助相似三角形的性质等解决问题，相似法可以与勾股法相互交融，彼此结合，穿插使用；
2.3 三角法
相似是三角的基石，三角是相似的浓缩.一个（锐）角是确定的，其所在直角三角形的三边之比也是确定的，即“定角定比”.解题时，眼中有角，心中有比，会得到更多直指本质的解法.此题中，∠BAC确定，∠BAD＝∠BAC也是确定的，必可解，只需求出∠BAD的“三角比”（其所在直角三角形的三边之比）.下面提供几种导角方法，仅供参考：
小结3：基于确定性思想下的导角分析，此题的本质就是知倍角求半角的过程，以上各种思路都是想方设法将目标半角∠DAB置于或转移到构造的直角三角形里，求其三边之比，借助比例法，顺利解决问题；
这里尤以思路15的构造最为简洁通用，只需将目标倍角所在直角三角形的直角边轻松一延，等腰构出，半角自现，不妨称为倍半角模型，其核心结构如图3－8所示，在具体使用时，既可以“就地解决”，也可以“另行处理”；
以上各种所谓“三角法”带给我们的解题启示有：眼中有定角，心中有定比；导角能力强，转化意识快；巧施三角比，口算似神仙.
2.4对称法
角是一个轴对称图形，角平分线所在的直线是其对称轴，遇到角平分线的相关问题，对称法是一个重要而常见的用法.从这个角度分析，前面的思路3以及思路4中涉及的“见角平分线，作双垂”、“三线合一逆定理”（“角平分线＋高线→等腰三角形”）等常见的处理方法都属于对称法.此外，本题还可以采取如下新解：
小结4：角平分线的常见解题策略：①作双垂，得相等；②角平分线＋垂线→等腰三角形；③角平分线＋平行线→等腰三角形；④对称法.其实，①与②的本质属于④.
2.5旋转法
其实，旋转法未必一定要在“共顶点、等线段”结构中才能使用，更一般地，当共顶点的两条线段夹角确定且长度之比确定时，都可以尝试采用旋转（相似）法来解决问题.
譬如本题，如图5－2（隐去半圆O），连接BC、BD、CD，则Rt△ABC形状确定，且DB＝DC，要求的是DA，可以绕点C或点B或点A作旋转变换，将DA、DB、DC等条件转移到同一个三角形中，从而顺利求解.
此图不妨称为“（不等）三爪图”，即见“（不等）三爪图”，造旋转，又可产生以下新解：
小结5：共顶点，等线段，造旋转，得全等，这是旋转（全等）法的第一层次，如思路17；
更一般地，两线段，共顶点，固夹角，定比值，造旋转，构相似，如思路18至思路23，可归纳为“旋转有六法，相似必成对”，这才是旋转（相似）法的更高层次.
2.6其他方法
峰回路转，思路23又给笔者一些提示，此题还有以下有趣解法：
思路24又回溯到了前面的三角法，不自觉间构造了“倍半角模型”，不禁让人直呼，数学好玩，解题过瘾，进一步说明了“倍半角模型”的普遍存在性，需引起高度重视.
此外，还可以如图6－2所示构图，同理可解.数学探究的乐趣无止境，在思路24的基础上，笔者突发奇想，可不可以利用学生熟知的“一线三直角”结构来解决问题，果然不出所料，请看以下解法：
最后，再介绍一种“托勒密”趣法，以殇读者：
思路26：先介绍一个引理：
(托勒密定理)如图6－4，在圆的内接四边形ABCD中，始终有AC×BD＝AB×CD＋BC×AD，即圆的内接凸四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积.
利用托勒密定理，由题立得：4AD＝3BD＋5CD，又BD＝CD，则4AD＝8BD，即AD＝2BD，下略.
托勒密法简单的让人发指，数学如此有趣，引无数学子竞折腰，同学们，爱上数学吧！
此外，此题若是采取高中知识，利用三角函数来解决，又会有更直至本质的解法，不再详述.
通过本文的探究，此题的美一览无余，笔者忍不住忆起宋代文学家苏轼的诗作《题西林壁》：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中!”笔者也忍不住诗兴大发，来首打油诗，结束本文：“勾股相似面积法，定角定比三角法；对称旋转托勒密，各法融会功自成！”
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