第
3
讲
考
全等三角形热门题型2
配合《全等三角形》教学进度
(注:适合于人教版八年级)
热门题型2:因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边),所以在处理角的平分线的问题时,常作出全等三角形的第三个条件,截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形.
典例赏析
题目:如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,BQ是∠ABC的角平分线.求证:BQ=CQ
【分析】由三角形的内角和就可以得出∠ABC=80°,再由角平分线就可以得出∠QBC=40°,就有∠QBC=∠C而得出结论。
变式题组
题1(条件叠加):
在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线.求证:BQ AQ=AB BP.
【分析】延长AB至M,使得BM=BP,连结MP,根据条件就可以得出∠M=∠C,进而证明△AMP≌△ACP就可以得出结论.
(注:这题的解法很多,具体思路详见公众号【模型思想】“角平分线”对称变换模型)
题2.(一般性探究)
在△ABC中,∠ACB=α,AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线.
当∠BAC= 时,仍有BQ AQ=AB BP结论成立.
【分析】根据题(1)的证明可知,只要满足∠ABC=2∠ACB即可使原结论仍然成立,故答案为:180°﹣3α.
题3(深层探究):
如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于D点,求
的值.【分析】过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,过C作CH⊥AB于H,解直角三角形求出DM、DN、CH值,根据三角形面积公式求出即可.
故答案为:=
.【点评】本题考查了解直角三角形,三角形面积的应用,主要考查学生的推理能力,关键是得出等式AB·AD AC·AD=AB·AC.
达标检测
1.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.
2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC,求证:DM=DN.
3.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为 .
4.如图,点P是△ABC外一点,AP平分∠BAC,PD垂直平分线段BC,交BC于点D,PE⊥AB,垂足为点E,PF⊥AC,交AC的延长线于点F.
(1)直接填空:垂线段PE与PF的数量关系是 ;
(2)求证:BE=CF;
(3)若AB=a,AC=b(a>b),试用含a、b的代数式表示AE·CF.
(注:请认真对照以上四个图形,发现图形演变的过程,并归纳我们在处理角的平分线的问题时,常用的解题思路!)
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