一、知识点:
1、基本初等函数的导数公式表
函数 | 导数 |
2、导数的运算法则
导数运算法则 |
1. 2. 3. |
推论:
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
3、复合函数的概念
一般地,对于两个函数和,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作。
4、复合函数的导数
复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
若,则
5、函数的单调性与导数的关系
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
说明:特别的,如果,那么函数在这个区间内是常函数.
6、求解函数单调区间的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)解不等式,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式,解集在定义域内的部分为减区间.
考点一:导数的基本运算
例1、(1)求的导数;
(2)求y=的导数。
分析:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导. 有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量。
解析:(1),
(2)y=-x+5-
y'=3×(x)'-x'+5'-9'=3×-1+0-9×(-)=。
考点二:复合函数的导数计算
例2、求函数y=(2x2-3)的导数.
分析:y可看成两个函数的乘积,2x2-3可求导,是复合函数,可以先算出对x的导数.
解析:令y=uv,u=2x2-3,v=, 令v=,ω=1+x2
= (1+x2)′x
=
∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x
=(2x2-3)′x·+(2x2-3)·
=4x
即y′x=
考点三:利用导数研究函数的图像
例3、设<b,函数的图像可能是
分析:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.
解析:,由得,∴当时,取极大值0,当时,取极小值且极小值为负. 故选C. 或当时,当时,y>0,选C.
考点四:求函数的单调区间
例4、已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
解析:(1)由题意知f(0)=1,(1)=1,f(1)=-1.
∴
∴c=1,a=,b=-,
f(x)=x4-x2+1.
(2)∵(x)=10x3-9x,
由10x3-9x>0,得x∈(-,0)∪(,+∞),
则f(x)的单调递增区间为(-,0)和(,+∞).
考点五:利用导数解决函数的单调性问题
例5、已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;高考资源网
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
分析:将函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立的问题,是解决这类问题的通法. 本题也可以由函数在上递减,所以求解.
解析:(Ⅰ)求导得
当时,,,在上递增;
当时,,求得两根为,
即在上递增,在上递减,在上递增。
(Ⅱ)因为函数在区间内是减函数,所以当时恒成立,结合二次函数的图像可知解得.
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