一、导数的概念
例1、若函数的导函数在区间上是增函数,
则函数在区间上的图象可能是
解析:因为函数的导函数在区间上是增函数,即在区间上各点处函数的变化率是递增的,故图像应越来越陡峭. 由图易知选A.
说明:考查了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律,是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的,虽然试题的设计来源于高等数学,但考查的还是中学所学的初等数学知识.
二、导数的几何意义
例2、已知函数的图象在点处的切线方程是,则 。
解析:因为,所以,由切线过点,可得点M的纵坐标为,所以,所以
答案:3
三、求曲线的切线方程
例3、求曲线:过点的切线方程。
解析:可判定P点不在曲线C上。设切点为,
切线斜率
故切线方程为,
则,
解得:或。
所以切线方程为及。
反思:已知曲线C:,求过点的曲线的切线方程。其步骤为:
第一步:判定点P是否在曲线C上
第二步:求导数
第三步:若P点在曲线C上,则所求的切线方程为;若P点不在曲线上,可设切点,由解出。进而确定过P点的曲线C的切线方程为。
四、利用导数的几何意义研究曲线的切线问题
例4、已知曲线C:,直线,且直线与曲线C相切于点(),求直线的方程及切点坐标。
解析:直线过原点,则。由点在曲线C上,则, 。又,在处曲线C的切线斜率为,,整理得:,解得:或(舍),此时,,。所以,直线的方程为,切点坐标是。
答案:直线的方程为,切点坐标是
说明:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。
例5、若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
解析:设过的直线与相切于点,所以切线方程为
即,又在切线上,则或,
当时,由与相切可得,
当时,由与相切可得,所以选.
说明:函数的切线问题,切点是关键,因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”,在做题中往往需要设出切点.
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