2019高考100题之032(双曲线4)

       分析：

       该题出的非常好，把双曲线的渐近线、离心率、解三角形等融合在了一起，但是点P不在双曲线上，所以该题和双曲线的定义无关。

       对于双曲线x²/a²-y²/b² =1(a，b>0)来说，其渐近线方程为y=±bx/a，如下图，过右焦点作y=bx/a的垂线，由点到直线距离公式可得|PF₂|=b。

       或者由tan∠POF₂=b/a，可得sin∠POF₂=b/c，cos∠POF₂=a/c，而|OF₂|=c，所以|PF₂|=b，|OP|=a。

       也就是可以下这么一个结论：双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为虚轴长的一半。

该题在ΔPOF₁中，|PF₁|=√6a，|OP|=a，，|OF₁|=c，cos∠POF₁=-a/c，由余弦定理可得c/a=√3。

       如果大家积累了这个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和(在三十天冲刺（五）——《解三角形的四种意识》中对这个作了介绍，大家一定要把证明这个定理的三个方法搞透）。那么这道题可以不用角度，直接由边的关系求离心率，具体过程就不赘述了。

       不约而同的是，2018年这样的题还有三道：

1.

       分析：

      直接可得b=√3c/2，所以令b=√3m,c=2m，则a=m，所以离心率为2。

2.

       分析：

       画图直接可以得到答案为√3a=3，选B。

3.

       分析：

       画完图直接可得b=3，选C。

      2017年也有类似的一道题：

       分析：

       这道题不是从焦点往渐近线作垂线，而是从顶点作的，其实做起来都是一样的，只需要√3b/2a=b/c，所以离心率为2√3/3。