2019高考100题之001(函数的性质1)

       转眼又过了一年了，年年岁岁题相似，岁岁年年人不同。

       我去年的今天发的一篇2018高考数学100弹之第1弹：我们上路吧，我觉得对于今年备考的考生来说仍然适用，所以我就不多废话了。

       未来100天我准备挑选100道我心中的好题，力求覆盖绝大部分知识点。如果你的基础知识不扎实，在考场上算不准、算不快，即使这100道题你都看懂了，其实那也是“然并卵”。

       所以我这100道题是给每天都在扎扎实实复习、定时做套卷的同学准备的。当然对于这些同学来说，这100题看不看也不会有啥影响。

       总之，送给考生八个字——

少看多做，

少听多想。

       这100道题我准备按照先难后易的顺序的推出，因为谁也不想在五月份的时候还看难题找虐。

       所以首先推出函数专题：

       001.（2017全国3卷理11、文12）

       已知函数f(x)=x²-2x+a(e^x-1+e^-x+1)有唯一零点，则a=

       A.-1/2       B.1/3       C.1/2       D.1

       分析：

       该题大家能找到很多解法，甚至还有求导来解决的。希望大家一定要明白一个道理，求导只是在你用初等的方法没法解决的时候才采用的方案，大家对于一次、二次、反比例、指数、对数、三角、幂函数等这些初等函数的单调性、对称性、周期性等基本性质要了然于胸。

       特别是和指对数有关的一些奇偶函数，大家一定要积累下来，争取做到一看就知道要考察对称性，比如常见的偶函数y=e^x +e^-x,奇函数y=e^x-e^-x,y=(e^x+1)/(e^x-1)，y=lg[(x+1)/(x-1)]，y=lg[x+√(x²+1)]等，希望大家一看就能知道其奇偶性。

       其实函数y=e^x-1+e^-x+1是由偶函数y=e^x +e^-x向右平移一个单位得到的，所以其关于直线x=1对称，而函数y=x²-2x也关于直线x=1对称，所以函数f(x)=x²-2x+a(e^x-1+e^-x+1)关于直线x=1对称，如果f(x)只有唯一的零点，那么只能是1，所以f(1)=2a-1=0，选C，因为这是一道选择题，充要性的检验也就没有必要了。

       该题也可以这么做，由均值不等式可得e^x-1+e^-x+1≥2，当且仅当x=1时取到等号，所以当a>0时，f(x)的最小值为2a-1，此时即使你不知道f(x)的对称性，但由x趋向于正负无穷时，函数值趋向于正无穷，可得2a-1=0，因为这是一道小题，所以a<0时就没有必要考察了.也可以通过对函数y=e^x-1+e^-x+1求导得y'=e^x-1-e^-x+1，由单调性求其最小值。

       我们再扩展一下，我们知道任何一个定义域关于原点对称的函数f(x)都可以写成一个奇函数[f(x)-f(-x)]/2和一个偶函数[f(x)+f(-x)]/2之和。那么函数f(x)=e^x也可以写成一个奇函数和一个偶函数之和，可以求得奇函数为 g(x)=(e^x-e^-x)/2,偶函数为h(x)=(e^x+e^-x)/2，这是两个非常重要的函数，第一个取名叫双曲正弦函数，第二个叫双曲余弦函数，为啥和正余弦扯上联系了，上大学大家就知道了。它们和y=e^x在一个坐标系中的图象如下，其中g(x)的单调性很显然，h(x)的单调性可以通过导数来说明，大家把这两个函数的图象和性质记下来，说不定在某个关键时刻就能用上.