分析:
这是一道老的掉渣的题,但是全国2卷却把它放在了选择的压轴题上,所以使用全国2卷的考生上了大学后可以和别的考生哭穷,毕竟经济落后,都能理解,但是千万不要和别人交流高考题,否则会被群殴的。
虽然这是一道老题,但是不妨碍它是一道好题。
作为小题,有了正余弦函数的图象作为支撑,很多同学会根据题意画草图,由奇函数可得f(0)=0,不妨设其在[0,1]上为增函数,然后由f(x)关于(0,0)以及x=1对称,画出f(x)的草图如下,可以直观感知f(x)的最小正周期为4,而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)=f(1)+f(2)=2,选C.
而f(x)周期为4的一般证明如下:
因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),
因为f(x)关于x=1对称,所以f(2+x)=f(-x),
所以f(x)=-f(x+2),所以f(x+2)=-f[(x+2)+2],
所以f(x)=f(x+4)。
和函数的周期性、对称性有关的一般结论如下:
(1)定义在R上的函数f(x)关于x=a,x=b(a≠b)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期。
证明:
因为f(x)关于x=a对称,所以f(x)=f(2a-x),
因为f(x)关于x=b对称,所以f(2a-x)=f(2b-2a+x),
所以f(x)=f(2b-2a+x),所以2|a-b|是f(x)的一个周期。
(2)定义在R上的函数f(x)关于(a,0),(b,0)(a≠b)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期。
证明:
因为f(x)关于(a,0)对称,所以f(x)=-f(2a-x),
因为f(x)关于(b,0)对称,所以f(2a-x)=-f(2b-2a+x),
所以f(x)=f(2b-2a+x),所以2|a-b|是f(x)的一个周期。
(3)定义在R上的函数f(x)关于(a,0),x=b对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期。
证明:
因为f(x)关于(a,0)对称,所以f(x)=-f(2a-x),
因为f(x)关于x=b对称,所以f(2a-x)=f(2b-2a+x),
所以f(x)=-f(2b-2a+x),f(2b-2a+x)=-f(4b-4a+x),
所以f(x)=f(4b-4a+x),
所以4|a-b|是f(x)的一个周期。
反过来有如下结论:
(1)定义在R上的函数f(x)关于x=a对称,且T是f(x)的一个周期,则f(x) 关于x=a+T/2对称。
证明:因为f(x)关于x=a对称,所以f(x)=f(2a-x),
因为T是f(x)的一个周期,所以f(2a-x)=f(T+2a-x),
所以f(x)=f(T+2a-x),所以f(x)关于x=a+T/2对称。
注意这个时候没法推出f(x)一定是中心对称函数。比如函数f(x)=|sinx|周期为π,对称轴为x=kπ/2,k∈Z,但是它并没有对称中心。
(2)定义在R上的函数f(x)关于(a,0)对称,且T是f(x)的一个周期,则f(x) 关于(a+T/2,0)对称。
证明:因为f(x)关于(a,0)对称,所以f(x)=-f(2a-x),
因为T是f(x)的一个周期,所以f(2a-x)=f(T+2a-x),
所以f(x)=-f(T+2a-x),所以f(x)关于(a+T/2,0)对称。
注意这个时候没法推出f(x)一定是轴对称函数。比如函数f(x)=tanx周期为π,对称中心为(kπ/2,0),k∈Z,但是它并没有对称轴。
一定要注意:很多同学受y=sinx图象干扰,会以为中心对称、轴对称和周期这三者中,任意两个都能推出第三个,其实不然。
更有甚者,会觉得T是函数f(x)的周期与f(x)=-f(x+T/2)等价,其实若f(x)=-f(x+T/2),则必有f(x+T/2)=-f(x+T),所以f(x)=f(x+T),所以T是f(x)的一个周期。但是若T是f(x)周期,并不一定能说明f(x)=-f(x+T/2),比如y=|sinx|就不符合。和这个有关的问题在f(x)=-f(x+1)是2为函数f(x)的周期的什么条件?中作了详细的说明。
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