能力 | 角系列之坐标系中的特殊角问题

当我们把目光聚焦在各种各样图形的时候，却忘了还有一种基本图形：角．本系列介绍关于角的一些问题，本文则从基本的特殊角开始说起~

01

什么是特殊角？

说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，cos60°=1/2，而我们并不知道50°的任一三角函数值．

因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．

以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造．

比如求tan15°：

tan22.5°：

一般半角三角函数值求法：

一般二倍角函数值求法：

02

坐标系中的特殊角

当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等．

综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°．

并且我们还可通过画图与计算得知：

即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系．

关系就是：tanα=k的绝对值（α是直线与x轴的夹角）．

不装了，我摊牌了~

03

特殊角的处理

在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：

思路1：根据三角函数值构造三垂直相似（或全等）；

思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”．

引例：坐标系中的45°角

如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．

【分析】

思路1：构造三垂直相似（全等）

在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．

在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．

易证△OEM≌△PFO，

故PF=OE=2，OF=ME=1，

故P点坐标为（-1，2），

结合P、M坐标可解直线CD解析式：y=-1/3x+5/3．

构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，

但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐．

思路2：利用特殊角的三角函数值．

过M点作MN∥x轴，则tan∠OMN=tanα=1/2，tan∠CMN=1/3，

考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故kCD<0，

所以直线CD：y=-1/3(x-2)+1，

化简得：y=-1/3x+5/3．

引例：坐标系中的一般特殊角

如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且tanα=3/2，求直线CD解析式．

【分析】

在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，

易证△PFO∽△OEM，且相似比PO：OM=tan∠PMO=3/2，

即OF=3/2ME=3/2，PF=3/2OE=3，

故P点坐标为(-3/2，3)，

结合P、M点坐标可解直线CD解析式：y=-4/7x+15/7．

本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中．

认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法．

04

且看中考题

2019盐城中考

【45°的旋转】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_________．

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2018辽阳中考（删减）

【75°的转身】

如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=1/4x²+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标．

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2013黑龙江中考

【特殊角的半角】

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x²-25x+144=0的两个根（OA<OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标；

（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．

but，思路2不能直接用！不能直接用！

选择填空当然就可以咯~

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2019资阳中考（删减）

【不一样的45°】

如图，抛物线y=-1/2x²+bx+c过点A（3，2），且与直线y=-x+7/2交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．