关于圆锥曲线的系列文章，我在去年写了11篇，写了椭圆系列10篇和圆的1篇，其实还有几篇与解析几何有关的文章没有编入此系列中。例如（《2008年江苏省数学高考18题的推广与研究》 ）此系列文章主要针对高考学生，不过对于解析几何而言高考和竞赛之间差距不大。
后来一直有朋友催促再往下写关于抛物线的文章，今天有空以2018年高中数学联赛第11题为例再写一篇，争取尽快把这个系列写完。
2018年高中数学联赛一试11题为：
这个题目是2018年一试的压轴题，是比较难的一道题目。
拿到这个问题，我首先画出一个草图，如下图所示，其中P、O也可能在AB的同侧，不过这只是一个示意图，通过最终计算发现，P、O在AB的同侧还是异侧对计算结果其实没有影响。
已知曲线是抛物线y^2=4x,A,P,B,O都在曲线上，这种与抛物线有关的问题最常见的基本套路就是设出各点坐标，并尽可能的少用未知数。自然的思路是设坐标为A(a^2,2a),B(b^2,2b),P(p^2,2p)。
这样AB的斜率很容易计算，为
(2b-2a)/(b^2-a^2)=2/(a+b)。
这个结论虽然很简单，但是根据我的经验，这应该是涉及抛物线弦的问题中最重要而且最常用也是最有用的公式，没有之一。
对称的，同理可得AP,BP斜率为2/(a+p),2/(p+b)。
ABF共线，这是一个条件，利用AB和FB斜率相等，会得到一个关于a,b的等式。即
2/(a+b)=2b/(b^2-1)
化简得到ab=-1.
这是一个很常见的结论，大家应该都比较熟悉。
下面出现第一个难点——如何利用APBO共圆这个条件，共圆的基本性质是对角互补，不难发现∠AOB不是定值，看来只能硬算。
也就是用∠AOB和∠APB互补算，因为有了各线的斜率，所以夹角可以用两个直线的“到角公式”计算，所谓的“到角公式”，也就是一条直线按逆时针旋转到另一条支线所经过的最小夹角的正切值，是老教材中课本中的结论。新教材简化掉了，只讲了两条直线的夹角公式。虽然它相对不太常见，但是其实和“夹角公式”几乎相同，都是两个角的差的正切公式，只是到角公式没有绝对值，相对而言能更准确的描述一个角度的大小。（其中a到b的角和b到a的角互补，本质上就是平面几何中的所谓的“有向角”。）我们一般用<AP,BP>表示直线AP到BP的角。从而得到
上式中p=0时即为tan<AO,BO>,由tan<AP,BP>=tan<AO,BO>，即可得到
由于p≠0,从而得到a+b=-p。
这是一个漂亮而重要的结论！
下面是本题的第二个也算是最大的难点——如何使用“PF平分∠APB”这个条件。
最自然的思路还是由两个角相等，利用到角公式得到一个等式，由此等式解出p即可。
显然PF斜率为2p/(p^2-1),从而得到
上式中a=b时即为tan<BP,PF>,由tan<AP,PF>=-tan<BP,PF>，约去2，即可得到
下面的第三个难点在于如何处理这个等式，基本的思路是消去a,b,得到关于p的方程。
最自然的思路是直接乘开，移项，合并同类项，应该也是可以的。
不过感觉稍微有点麻烦，有没有简单点的计算方法呢？
我们刚才已经得到ab=-1和a+b=-p，都是关于a,b对称的，所以希望等式中出现ab和a+b，
对这种比例式，一个常见的处理方式是利用比例的性质，即等比定理。具体的说，是
代入上式，约去p即得
这就完成了最终的求解过程。
最后把上述过程整理一下，书写如下：
解：
设各点坐标为A(a^2,2a),B(b^2,2b),P(p^2,2p)，
则AB的斜率为(2b-2a)/(b^2-a^2)=2/(a+b)，
同理可得PA,PB斜率为2/(a+p),2/(p+b)，
FB,FP斜率为2b/(b^2-1),2p/(p^2-1).
由AB和FB斜率相等，得到
2/(a+b)=2b/(b^2-1)
化简得到ab=-1.
用<AP,BP>表示直线AP到BP的角。从而得到
上式中p=0时即为tan<AO,BO>,由tan<AP,BP>=tan<AO,BO>，即可得到
由于p≠0,从而得到a+b=-p。则
参考答案的方法为
参考答案方法也很精妙，基本和我的思路相同。也是分为三个步骤：
第一步由AFB共线得到一个等式；
第二步由APOB共圆得到一个等式；
第三步由PF平分∠APB得到一个等式；
联立解出结果即可。
不过他的具体计算方法和我的都不相同。
第一步他是设出直线方程，和抛物线联立，利用韦达定理得到的。这也是圆锥曲线问题的最核心最常见的方法。我的方法比较简洁，但是适合抛物线，对于椭圆和双曲线一般不好用，除非用参数方程。
第二步参考答案是用的方法很“神奇”，他先设出圆的方法，把抛物线方程代入圆中，然后利用韦达定理得到四个根之和为0，从而得到一个等式。这个方法相对比较少见，高考中没有出现过，竞赛中也比较少见，平时练习中很少用到这么精妙的思路。不过这个思路也并非天外来物，我在前面的文章中也用过（2008年江苏省数学高考18题的推广与研究 ）所以在考场上几乎没有学生能在短时间内独立想到这种方法。当然最终殊途同归，他得到了的等式和我通过计算得到的相同。
第三步参考答案是用平面几何中角平分线分线段成比例定理得到的等式，然后利用两点间距离公式计算，再把前两步得到的结果代入，直接乘开分解因式即得。
比较而言，参考答案的方法高屋建瓴、神乎其技，第二步第三步基本是竞赛的知识技巧，精妙异常，但是普通的学高考生几乎不可能想到。即使知道这些知识的竞赛学生也很难在段时间内想到，看到参考答案，只能自惭形秽、自叹不如，此方法让人感觉望而却步、望尘莫及。
相信考场上很少有学生能用参考答案的方法得到答案。
比较而言，我的思路虽然比较笨拙，但是相对自然，而且容易想到，计算也不算复杂。对普通学生也更容易掌握和理解。我的方法中唯一的难点就是到角公式，相对而言比较少见一点。不过这个是不难理解和证明的，而且通过到角公式也体现出对于图形中的四点共圆，不管O、P在AB的同侧还是异侧，计算的公式是相同的，这样体现了此公式的优越性。
一言以蔽之：抛物线问题的最核心方法就是设出点的坐标得到斜率公式。适当使用到角公式计算夹角即可。
通过上述分析可以发现，此题虽然是竞赛中的压轴题。但是也可以“下放”到高考或者强基计划考试中，所谓淡妆浓抹总相宜。
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