问题描述
在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.
是什么?
在图三的模型里有结论:
(1)∠BPD=60°;
(2)连接AP,AP平分∠DPE.
为什么?
类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF=BE=CD.
巧的嘞,它们仨的长度居然一样长!
更巧的是,其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值!
接下来才是真正的证明:
考虑到∠APB=120°,∴∠APE=60°,则可以AP为边,在PE边取点Q使得PQ=AP,则△APQ是等边三角形.
显然,PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.
还剩下第3个问题!
怎么办?
直接考,要不然还能怎么考?
问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4倍根号2,点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______.
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!
如图,以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明)
过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点,
根据∠NMG=75°,∠GMH=60°,
可得∠HMQ=45°,
∴△MHQ是等腰直角三角形,
∴MQ=HQ=4,
∴NH=2倍根号29.
练习1
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
【分析】如图,以AD为边构造等边△ACD,连接BD,BD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位置?这不重要!
练习2
如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段.
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG,
易证△AMD≌△AGF,∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值.
来源:有一点数学,作者:刘岳,如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误,请随时联系微信ABC-shuxue处理。
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