模型 | 四谈“种瓜得瓜，种豆得豆”——又见两道“瓜豆”好题

又见两道“瓜豆”好题

王  桥

经常收到一些网友发过来的题目，大多都没有及时解答，不知道是否寒了这些信任我的老师的心，在此一并致歉！！！

没有及时解答的原因大致有二：一是确实自己也不会；二是虽然会，但那时是不方便的（譬如在骑车、上课等），后来就忘了（请叫我老忘！！！——因微信好友早就上限了，群也比较多，常常是顾了这个，忘了那个）。所以，还是建议大家有不会的问题最好发群里，群里大咖很多。当然，我在闲暇时也会向群里的大咖互相学习的。

例1、如图1，已知在△ABC中，AB=AC=4，AF⊥BC于点F，BH⊥AC于点H，且∠ABH=45°。D为AF上一动点，作∠BDE=135°，且DB=DE，求AE的最小值。

分析：求AE的最小值，其中A是定点，E是动点，显然，AE的长度与点E的位置有关，此题的关键在于确定点E的轨迹！

那么点E从哪里来的呢？——又是黄金声老师的“来路”！！！显然，点E是点D的影子——点E随着点D的运动而运动。因为点D在确定的线段AF上运动，且满足∠BDE=135°，DB=DE，显然，△DBE就是一个顶角为135度，底角为22.5°的形状确定的等腰三角形。即符合“定角定比”的前提条件：（1）∠DBE为定角22.5°；（2）BD:BE为定值（这个比值是可以求出来的）。根据“瓜豆原理”“主从联动”的策略，则可大胆猜测出点E的轨迹为“直线型”轨迹。显然，求AE的最小值即可转化为“垂线段最短”的“点线距离”问题。问题是：点E在什么样的直线上运动？

采用极端化思想。既然点E的轨迹是直线型，我们不妨从最特殊的位置——“起点”和“终点”两个位置来先确定E₁和E₂的位置。我们把点D看做是从点A到点F运动的。当点D和A重合时，点E的位置记为E₁；点D和点F重合时，点E的位置记为E₂，连接E₁E₂，则点E的轨迹即确定了。

如图2，作∠BAE₁=135°，且AB=AE₁=4，连接BE1；作∠BFE2=135°，且FB=FC=FE₂，连接BE₂；连接E₁E₂，则点E必在E₁E₂上。当AE最小时，AE⊥E₁E₂。

那么，E₁E₂究竟在什么位置？目测好像是过点C的！！！如果过点C，则E₁E₂就和E1C重合了，则E1C的位置就更好确定了。

易求得∠ACE₁=45°，∠ACB=∠BCE₂=∠ABC=67.5°，显然E1、C、E₂三点共线，则E₁E₂过点C。∵AB=AC=4，易求得当AE⊥CE₁时，AE=2√2.

那么，该怎么证明呢？

显然，不论点E在任何位置，必有△BDE∽△BAE₁。其实，也可以看做是△BDE和△BAE₁手拉手的，那么必有△BEE₁∽△BDA，则易证明∠BAD=∠BE1E=∠ABE₁=22.5°，则E₁E∥AB，即点E的轨迹为过点E₁，平行于AB的直线。易知△E₁AC为等腰直角三角形，则∠ACE₁=∠BAC=45°，即E₁C∥AB，显然，点E在CE₁上，此时，求AE的最小值就易如反掌了。当AE⊥E₁C时，显然AE=2√2为最小值.

这道题目的思路整理后，发到朋友圈了，居然一石激起千层浪，得到了一些朋友的关注。其中锦州的米老师又提供了一种非常简洁的思路，很有意思。这种思路直接从∠BDE=135°为定值出发，加之DB=DC=DE，则B、C、E必在以点D为圆心，DB为半径的圆上，继而根据圆周角定理，求得∠BCE为确定的度数112.5°，则∠ACE也为确定的度数45°，从而判断CE∥AB，点E的轨迹也就确定下来了。为米老师点赞！！！

其实，记得在前一段十招三群里也有个老师问了到题目，和这个题目如出一辙，也是“因故”没有及时解决，今天一并分享学习了。

这是原题：

例2、已知△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且AB:BC=DE:DF=k。

（1）点D与B 重合时：

①如图1，k=1时，AE和FC的数量关系是        ，位置关系是       ；

②如图2，k=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；

（2）BD=2CD时：

③如图3，k=1时，若AE=2，S_△CDF=6，求FC的长；

④如图4，k=2时，M、N分别为EF和AC的中点，若AB=10，直接写出MN的最小值。

分析：其中根据“手拉手模型”的相关结论，容易得出：

（1）①AE=FC，AE⊥FC；②AE=2FC，AE⊥FC；

（2）我们先看下③。如图3，作DM⊥BC交AC于点M，构造△DEF和△DMC手拉手，易证明△DEM≌△DFC。作DN⊥AC于N，不妨设DN=NC=NM=x，则CD=√2x，则BD=2√2x，则BD=3√2x，AC=6x。因为AE=2，则EM=4x-2.易证明△EDM≌△FDC，则FC=EM，且△CDF的面积=△MDE的面积=6.即1/2·EM·DN=1/2（4x-2）x=6，解得x=2，则FC=EM=6.

④当k=2，AB=10时，显然BC=5，CD=5/3,BD=10/3,CN=AN=5√5/2.其中N为定点。欲求NM的最小值，仍然要确定点M的轨迹。

这里，由于点E是动点，从而导致了点F和EF的中点M都是动点，所以点M的轨迹不太好确定。我们仍然采用构造“手拉手模型”的策略。

如图6，作DK⊥BC角AC于点K，则△DKC和△DEF手拉手，则EF的中点M必随着点E的运动而运动，根据“主从联动”的策略，点E的轨迹为直线型，则点M的轨迹也必为直线型。我们继续运用极端化的思想，把M的轨迹确定下来。如图7，当DE⊥AC时，显然M为CD中点M1；当点E和点K重合时，M为CK中点M₂，因此点M在M₁M₂所在直线上。 而N为定点，显然，根据垂线段最短的性质，当NM⊥M₁M₂时，MN最短。

如图8，当MN⊥M₁M₂时，过点M₁作M₁P∥M₁M₂，交NM于点P，此时易求得BC=5，CD=5/3，CM₁=PM=5/6,NC=1/2AC=5√5/2，NP=1/2BC=5/2，则MN=NP-MP=5/2-5/6=5/3。

   当然，这道题目也可借助米老师提供的思路，其中E、D、C、F四点共圆......

文章来源：播睿智数学，作者：王桥