2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题3

分别来自辽宁锦州与内蒙古通辽两个地区。

【题1】

（2019·锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是　　     ．

不知道大家是否做过此题，同学们可以先独立思考一下，再看答案。

【分析】

本题中点C的位置是不变的，仅A′在运动，如果能确定定点A′的运动轨迹即可。

由于点M为定点，MA的长度不变，因此我们可以得到A′始终到点M的距离等于MA，也就是以点M为圆心，MA为半径的圆弧上面运动。这样就比较容易得到结论了。

或者我们直接从△MA′C中观察，MC与MA′的长度是不变的，始终有MA′+A′C＞MC，也就是A′C＞MC-MA′。当M、A′、C三点共线时，A′C=MC-MA′。此时A′C取最小值。

【答案】√10-1

【解析】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2。

∵M是AD边的中点，

∴AM＝MD＝1。

∵将△AMN沿MN所在直线折叠，

∴AM＝A'M＝1。

∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，

∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值。

∵MC=√(MD²+CD²)=√10，

∴A′C的最小值＝MC﹣MA'=√10-1。

有了上题的分析，

那么下面这道题目大家也可以独立尝试下。

【题2】

（2019·通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM=1/3AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是　　    ．

【答案】√19-1

【解析】

解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，

∵AM=1/3AD，AD＝CD＝3，

∴AM＝1，MD＝2。

∵CD∥AB，

∴∠HDM＝∠A＝60°。

∴HD=1/2MD＝1，HM=√3HD=√3。

∴CH＝4。

∴MC=√(MH²+CH² )=√19。

∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，

∴AM＝A'M＝1，

∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，

∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值。

∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'=√19-1。

【总结】

本题虽然图形的背景是折叠（轴对称），但是再变化过程中，可以发现点A′的轨迹是以M为圆心、MA为半径的圆弧上运动，相当于绕点M旋转的过程，体现了两种图形变换之间的关系。

本题其实在往年的中考中也有多次出现，比如之前的14年的成都、17年的贵阳等等。