上述两个图呈现的是两种最典型的“一线三等角”模型,即同侧型和异侧型,两者所求证的结论均可通过导角证明.该模型最本质的特点为: 有3个等角的顶点在同一条直线上,且这个角可以是锐角、直角或钝角.而随着角顶点位置的适当改变或角绕顶点旋转一定角度,常会产生许多和谐美观的图形,且结论仍然成立.正因如此,近年来各地命题专家们命制了许多可用“一线三等角”模型求解的中考试题,这些试题大都突出对学生能力与思维的考查,重视数学经验与思想方法的获得,常常具有较高的区分度.
类型1:三角齐见,模型自现
例1:如图3,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使 点B落在AD上,记为B',折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点 D落在B'C上,记为D',折痕为CG,若B'D'=2,BE=1/3BC,则矩形纸片ABCD的面积为________.
图3
类型1:三角齐见,模型自现
例2:将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图4所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB 的两腰CA,CB于点M,N.若CA=5,AB=6,AD∶AB=1∶3,则MD+12/MA·DN的最小值为________.
图4
评注
以上两例都是典型的“一线三等角”试题,由于模型的框架已搭建,因此降低了试题的起点.两道题虽涉及不同的图形变换,但解法本质一致,均为利用模型构建比例式解决问题.两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想.
类型2:隐藏局部,小修小补
图5
分析:如图6,由于∠B=∠AME=90°,因此延长BC,过点E作BC 延长线的垂线,两者交于点N.根据“一线三等角”模型,可得△ABM∽△MNE,则
而AB=EN=12,BM=5,则MN=144/5,故DE=CN=MN-MC=MN-(BC-BM)=109/5.图6
类型2:隐藏局部,小修小补
图7
2)如图8,因为∠ABO=∠APC=45°,在y轴的负半轴上找一点D,使得∠CDO=45°,则△ABP与△PDC构成“一线三等角”模型,所以△ABP∽△PDC,从而AB/PD=BP/DC,易知m>0,AB=√2m,BP=m/2,PD=m/2+2,CD=2√2,于是
解得m=12.
图8
评注
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景,但图形的共性较明显:均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏,而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想,发现其中最本质的特征,挖掘蕴含在图中的几何模型.两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查,提升了学生思维的层次性和灵活性.
类型3:一角独处,两侧添补
例5:如图9,一块30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=k1/x(其中x>0)的图像上,顶点B在函数y2=k2/x(其中x>0)的图像上,∠ABO=30°,则k1/k2=_______.
图9
图10
事实上,该题亦可利用异侧型“一线三等角”(如图9,设AB交x轴于点E,则△AOE∽△OBE)求解,由于与上面的解法类似,这里不再赘述.
类型3:一角独处,两侧添补
图11
图12
易知四边形ADCG为正方形,则AG=CG=CD=4;而AB=BC+AD,不难推知AB=5,BG=3,BC=1.由于∠BAE=∠M=∠N=45°,根据“一线三等角”模型可得△ABM∽△EAN,则
评注
类型4:线角齐藏,经验来帮
例7:如图13,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=k/x的图像上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图像于点C,则点C的坐标为_______.
图13
图14
类型4:线角齐藏,经验来帮
例8:如图15,有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上,另外两个顶点B,D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a取值范围是________.
图15
图16
评注
教学启示
在近几年的各地中考试卷中,逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题,这些试题虽呈现的背景不尽相同,但解决问题的方法和思想相通,这就要求教师在平时的解题教学中,充分挖掘习题的内在价值,鼓励学生对问题进行深入研究,引导并总结出一般化的方法,同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验,对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼.只有让学生学会自主地反思、推进、提炼,才能做到“掌握模型,举一反三,通一类题”,同时通过对一些基本模型和结论的挖掘,能更好地弄清问题的本质,为解决问题搭建好思维的“脚手架”,进而切实有效地提升学生的解题能力,发展学生的思维水平.当基本模型经过提炼并熟练应用后,教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究,通过让学生在拓展基本模型的过程中,感悟模型的本质,从而做到化题为型、串题成链、结题成网,真正实现思维品质的提升.
作者简介:胡伟斌,曙光中学,男,浙江宁波人,中学一级教师. 研究方向: 数学教育;如存在文章/图片/音视频使用不当的情况,或来源标注有异议等
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