【一题十解】解题大赛结果整理

题1

如图，四边形ABCD内接于⊙O，若AB·DE=AD·BE， 求证：BC=CD．

原型

如图，AD是△ABC的内角平分线，求证：AB/AC＝BD/CD ．

法一

无辅证法：

先证明△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，

得AB/DC＝AE/DE，AD/BC＝AE/BE，

两式子相除得，AB·BC/DC·AD＝BE/DE，

则AB·DE·BC＝AD·BE·CD，

因为AB·DE＝AD·BE，

所以BC＝CD．

点评：此方法为大家常用的方法之一，在圆中，大家容易想到相似．

法二

角平分线的判定：

由条件AB·DE＝AD·BE，

和面积公式

S△ABE/S△ADE＝BE/DE＝AB·EF/AD·EG，

得AB/AD＝BE/DE，

所以EF＝EG，

所以∠BAE＝∠DAE，

所以BC＝CD．

点评：利用三角形的面积公式，得到对应边的比例关系，再利用角平分线的判定来证明．

法三

面积公式：

S△ABE＝1/2AE·BF=1/2AE·BE·sin∠BEF

      ＝1/2AB·AE·sin∠BAE，

S△ADE＝1/2AE·DG＝1/2AE·DE·sin∠AED

      ＝1/2AD·AE·sin∠DAE，

所以BE·sin∠BEF/AD·sin∠DAE＝DE·sin∠AED/AB·sin∠BAE，

因为AB·DE＝AD·BE，∠BEF＝∠AED，

所以∠BAE＝∠DAE，

所以BC＝CD．

点评：此法甚妙，该方法间接证明了三角形的面积公式

S＝1/2ab·sin C＝1/2ac·sin B＝1/2bc·sin A．

法四

根据S△ABE＝1/2BE·AH＝1/2AB·AE·sin∠BAE，

S△ADE＝1/2DE·AH＝1/2AD·AE·sin∠DAE，

得BE/DE＝AB·sin∠BAE/AD·sin∠DAE，

根据条件AB·DE＝AD·BE，

所以sin∠BAE＝sin∠DAE，

则BC＝CD．

点评：本题仍然为面积公式得到边长的比例关系．

法五

作平行线：

过点E作EF∥AB，

得BE/ED＝AF/FD，

根据条件AB·DE＝AD·BE，

得AE＝EF，

所以∠BAE＝∠AEF＝∠EAF，

所以BC＝CD．

点评：平行线＋等腰得角平分线．

法六

法七

法八

法九

法十

本题本质为角平分线的性质的逆定理，解法主要与角平分线的性质有关，例如构造平行线、构造等腰，或者利用相似，往两边作垂线，面积等方式进行求解。

如果证明原命题成立，那又有几种解法呢？