第三部分：特殊角三角函数值的计算
【解题原理】
【两种特殊的直角三角形】
（1）、
，
，
直角三角形：如下图所示：
；
；
。
；
；
。
（2）、等腰直角三角形（
，
，
直角三角形）：如下图所示：
；
；
。
【特殊角三角函数值】
（
）
（
）
（
）
正弦
余弦
正切
【特殊角三角函数值相关例题】
【例题一】：【
年高考理科数学新课标Ⅰ卷第
题】
=（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：诱导公式的判断方法如下：
第一步
假设两角和差中除
的倍数之外的角看做第一象限角；
第二步
根据第一步中假设的第一象限角，判断两角和差整体角的象限；
第三步
根据第二步判断的象限，判断三角函数的正负；
第四步
如果两角和差与
的奇数倍有关，三角函数名称改变（正弦
变为余弦
，余弦
变为正弦
，正切
变为余切
）；如果两角和差与
的偶数倍有关，三角函数名称不改变。三角函数名称之后加上第一步假设的第一象限角，三角函数名称前加上第三步判断的正负。
第一步：
为第一象限角；
第二步：
为第二象限角；
第三步：余弦在第二象限为负的；
第四步：与
的偶数倍有关，三角函数名称不变。
所以：
。
三角函数两角和差公式如下：
两角和公式
两角差公式
正弦
余弦
正切
【本题答案】：
【例题二】：【
年高考理科数学四川卷第
题】
。
【本题解析】：根据三角函数的两角和差公式得到：
；
；
。
【本题答案】：
【例题三】：【
年高考理科数学山东卷第
题】若点
在函数
的图像上，则
的值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【本题解析】：因为：点
在函数
的图像上；所以：
。
。
【本题答案】：
第四部分：三角函数的定义
【三角函数定义一：终边上任意点的定义】
【终边上任意点定义的内容】
如下图所示：在平面直角坐标系
中：画出
角的终边，在
角的终边取任意点
，由点
向
轴作垂线，与
轴相交于点
。
在
中：因为：
角的对边
，
角的邻边
；
所以：根据勾股定理得到：
。
（1）、
；
（2）、
；
（3）、
。
【终边上任意点的定义与三角函数的正负关系】
（1）、
；
正弦的正负与纵坐标
的正负相同，第一象限和第二象限为正，第三象限和第四象限为负。
（2）、
；
余弦的正负与横坐标
的正负相同，第一象限和第四象限为正，第二象限与第三象限为负。
（3）、
。
正切在横坐标
和纵坐标
同号时为正，异号时为负，第一象限和第三象限为正，第二象限与第四象限为负。
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
正弦
正
正
负
负
余弦
正
负
负
正
正切
正
负
正
负
【终边上任意点定义的题型】
【题型一】：已知：点
为
角终边上一点。
求解：
，
，
的值。
【解法设计】：根据终边上任意点的定义得到：
（1）、
；
（2）、
；
（3）、
。
【题型二】：已知：
角的终边在直线
上。
求解：
，
，
的值。
【解法设计】：因为：
是过原点的一条直线，
角的终边是过原点的一条射线；
所以：直线
为两条终边。
分类讨论：
（1）、当
时：在终边上取任意点
根据终边上任意点的定义得到：
；
；
。
（2）、当
时：在终边上取任意点
根据终边上任意点的定义得到：
；
；
。
【终边上任意点的定义的相关例题】
【例题一】：【2017年高考文科数学北京卷】在平面直角坐标系
中，角
和角
均以
为始边，它们的终边关于
轴对称。若
，则
。
【本题解析】：假设：角
终边上任意一点为
根据终边上任意一点的定义得到：
；
角
和角
终边关于
轴对称，角
终边上任意一点为
为角
终边上一点；
根据终边上任意一点定义得到：
。
【本题答案】：
【例题二】：已知：
角的终边上有一点
。求解：
，
，
。
【本题解析】：根据三角函数的终边上任意点的定义得到：
；
；
。
【本题答案】：
，
，
【例题三】：已知：
角的终边在直线
上。求解：
，
，
。
【本题解析】：分类讨论：
（1）、当
时：取终边上的任意点
。
根据三角函数的终边上任意点的定义得到：
；
；
。
（2）、当
时：取终边上的任意点
。
根据三角函数的终边上任意点的定义得到：
；
；
。
【本题答案】：当
时：
，
，
；
当
时：
，
，
。
【跟踪训练】
【跟踪训练一】：【2017年高考理科数学北京卷】在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
轴对称。若
，
=
。
【本题解析】：
【跟踪训练二】：已知：
角的终边上有一点
。求解：
，
，
。
【本题解析】：
【跟踪训练三】：已知：
角的终边在直线
上。求解：
，
，
。
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【2017年高考理科数学北京卷】在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
轴对称。若
，
=
。
【本题解析】：假设：角
终边上任意一点为
根据终边上任意一点的定义得到：
；
。
角
和角
终边关于
轴对称，角
终边上任意一点为
为角
终边上一点；
根据终边上任意一点定义得到：
。
根据余弦函数的两角差公式得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练二】：已知：
角的终边上有一点
。求解：
，
，
。
【本题解析】：根据三角函数的终边上任意点的定义得到：
；
；
。
【本题答案】：
，
，
【跟踪训练三】：已知：
角的终边在直线
上。求解：
，
，
。
【本题解析】：分类讨论：
（1）、当
时：取终边上的任意点
。
根据三角函数的终边上任意点的定义得到：
；
；
。
（2）、当
时：取终边上的任意点
。
根据三角函数的终边上任意点的定义得到：
；
；
。
【本题答案】：当
时：
，
，
；
当
时：
，
，
。
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