来源 | 埃尔特订阅号（ID：Arete_edu）
作者 | 埃尔特
这些年，由于工作的缘故，我见到不少数学学习有困难的孩子。大概是因为同病相怜的原因，我和这些孩子特别有共同语言，也得以借着这些机会，重新以一个孩子的眼光，去审视数学学习这件事，思考孩子数学学不好的具体原因。
昨天和姐姐聊天，她讲到她的一位好朋友的孩子，今年上小学一年级，在数学方面遇到了一些困难，比如他现在还不能正确的算出一加一等于几。这个孩子总是认为，1+1=11。
其实这种现象在幼儿数学学习里，是比较典型的。除了1+1=11这样常见的错误外，还有类似的，15+15=210。
在孩子的思维方式里，14+14=28，前面两个1相加，结果是2，后面两个4相加，结果是8，所以14+14=28。那么同样的，15+15，前面两个1相加，结果是2，后面两个5相加，结果是10，所以15+15=210。
孩子出现这样的错误，首先父母可以让他意识到自己的思维误区，比如针对1+1=11的问题，我们可以问他：你有一块糖，再给你一块糖，你手里是十一块糖吗？
用这样比较具象的方式，让孩子意识到自己思维的误区，是相对容易的。但出现这种错误的根本原因，我认为，是孩子在数学启蒙阶段没有打好基础，更大胆地说，是孩子“数数”没有数好。
今天，我就以一个资深学渣的身份，来跟大家聊聊“孩子学习数学”这件事。
01.数学学习——小孩子，有大学问
首先，我们必须承认，孩子的数学基础不好，父母是难辞其咎的。
皮亚杰(1896-1980)，近代最有名的儿童心理学家
皮亚杰认为：
“一个人可以学到的东西，他的学习方法，取决于他已有的思维模型。所谓学习的法则，就是新的知识结构如何从已有的知识结构中生长出来，并在这个过程中构建逻辑性和情感联系。”
我们要教授的数学，必须和已经建立的知识构成一个不间断的连续系统，只有这样，新的知识才能从原有的知识体系里生长出来。
对于孩子来说，他最初的知识结构，包括数学观的建构，几乎全部来源于父母的有效引导。
儿童是天生的学习者，是自己智识结构的“建筑师”。但这个建筑师是需要“建筑材料”的。对于数学学习来说，平时生活中接触到的事物，父母对数学概念的理解甚至对逻辑的阐述，都是他学习的“材料”，对孩子建立数学认知有重要的意义。
孩子的数学概念，最初都是在生活中建立起来的，比如，一双鞋、一副手套、一双筷子，可以让孩子最早建立起“成对”的概念，如果父母在这时候能够进一步加以引导，就会加深孩子对这一概念的认知。
孩子在生活中得到的“数学大厦”的建筑材料越丰富，他就越会在数学方面表现出高于同龄孩子的数学能力。
但如果家长本身对数学学习有误解，甚至对数学有潜意识的惧怕、排斥心理，那么在与孩子交流的过程中，就会有意无意绕开类似的话题，这就会使得孩子缺乏相关的学习材料，孩子的数学基础也就很难打好了。
西蒙佩珀特也认为，儿童智力发展的差异可以归结到环境上，如果环境没能提供足够的高级材料，那么大概率会导致孩子在这方面的认知滞后。孩子对一个特定的概念迟迟不能理解，最关键的原因就是他的生活环境中，关于这个概念的材料严重不足，无法把这个概念变成一个简单的、看得见摸得着的东西。
这里面有一个重要的陈述，就是要帮助孩子把概念“变成一个简单的、看得见摸得着的东西”。
非常遗憾的是，我们做父母的，几乎都忘记了自己的幼儿阶段，是如何学习数学的。我们以成年人的眼光回头看数学启蒙，总会认为，“数数”有那么难吗？怎么6+2知道等于几，2+6就不知道了呢？这些如此简单的问题，怎么孩子就是满脑子浆糊呢？
要知道，小孩子学数学，一点都不简单。
孩子学习数数、学习1+1=2，是非常了不起的事情，它的重要性，不亚于宇宙形成时的奇点大爆炸。很多家长和老师， 对孩子数数慢、学习加法困难表示很不理解，认为这么浅显的事情孩子还不能掌握，说明“缺乏数学基因”。但我们仔细研究就会发现，看似浅显的儿童数学学习，其实涉及了巨大的世界观的建构，涉及了诸多认知上的跨越，以及思维模式的重构。
举个例子，我们把一杯水从一个小杯子倒进一个大的杯子里，只要不洒出来，我们知道，水的总量是不会变化的。但这个我们看起来浅显到不用去解释的事情，对于孩子来说，理解它是需要一种认知上的跨越的，需要跨越的这个概念，我们称之为“守恒法则”。
在皮亚杰之前，没有人意识到，孩子对于世界的理解，并不是从“正确”到“更正确”，而是从“错误”到“正确”。皮亚杰指出，孩子们在学习基本的数学原理之前，已经建立了自己的一套非常不同的规则系统，比如数量不守恒。然后孩子再调用他周围的学习材料，重新构建一个守恒的思维方式。
守恒法则，体现在数数上，举个例子：对大人来说，桌子上放了五个苹果，无论我们怎么改变这五个苹果的排序，苹果的总数是保持不变的。但对于孩子来说，这与他的知识结构是冲突的。因为这意味着，结果和过程是可以分割开的，过程的改变不影响数数的结果。这对孩子的世界来说，是闻所未闻的，是违背直觉的。
再举个例子，五个苹果和五个香蕉，在数量上是一致的。这对于孩子来说，理解起来也不是自然而然的，因为这意味着，物理上不同的事物，可以在数学上相同，这其实是同构的概念。
小孩子学数数，其实蕴涵着各种复杂的世界观的建立。而且，我们应该记住，孩子是先发展出自己的与成人不同的世界观，然后再逐渐转变为成人的世界观的。给孩子做认知上的启蒙，首先应该理解孩子的世界观，然后寻找不同的地方，耐心加以引导。
我们的孩子数学学不好，我坚持认为，很大程度上的原因，在于“数数”的时候没有数好、没有数够。要知道，我们所有的数学计算，都是立足于数数的基础之上的。
比如孩子们可以算出6+2=8，但是2+6却算不对，那是因为，所有的加法，都是基于计数的原则，6+2，孩子只要在6的基础上往后数两个数字，就知道结果了。而2+6，需要在2的基础上往后数六个数，在这个过程中要记住数了几个数、数到哪了，当然就更难一些。
当我们责怪孩子解决类似的问题出错时，却没有意识到，对于孩子来说，这样看似简单的问题，既要理解“守恒法则”，又要在心中“数数”的时候不出错。并不像成年人看起来的，知道2+6等于几，自然而然就应该知道6+2等于几。其实成年人也是使用类似的方法，只是熟极而流，内化于心了。
皮亚杰一生致力于对儿童知识起源的研究，在他的种种发现中， 有一项成果是：大人看不到孩子学了什么，是怎么学的，成年人，看不到儿童学习的本质。
那我们应该怎么做？我的答案是，越是抽象的东西，越需要用具象的方法去教。
“数数”对孩子的数学学习至关重要，但中国家长有一个常见的误区，就是过早的禁止孩子“掰手指”，认为不掰手指的计数和加减法，才是真的掌握了。我小的时候，就经常因为掰手指被训斥。后来看了一个TED的演讲，讲到数数和掰手指对孩子数学思维建立的重要性，我才知道，很多孩子的数学学习其实是被家长耽误了。
除了宽容孩子掰手指外，在数数和加减法的学习上，应该尽量多用手边的实物来和孩子练习。就像张俊老师说的，让孩子死记硬背8比7多，不如和孩子一人抓一把糖果，然后把糖果摆在桌子上，一一对应，让孩子看那一排糖果更多，用这种方式，建立数数、多少、加减的初步概念。否则的话，孩子即便知道8比7多，也不知道究竟是怎么多出来的。
我们总认为，用苹果桔子这些具象的东西跟孩子学数学，是一种数学能力低的表现。但我们从来不认为，学习钢琴的时候可以不碰钢琴，只在脑子空想就可以学完。我们也不认为，学习骑自行车的时候，应该让孩子不碰自行车，在脑子里想象面对各种路况的时候，如何进行动作分解。我们都知道，学自行车，第一件事就是让孩子骑上它。学习钢琴，第一件事就是让孩子摸摸琴键。但学习数学，我们却觉得，“看得见摸得着”，是一种错误，这是多么荒谬。
我们教孩子学数学，却不给他足够的学习材料，最终的结果必然是：孩子们必须用效率最低的方法学习数学，那就是死记硬背！
死记硬背是最差的学习方式，我们要把自己的大脑搞得一片空白，然后不断地重复不断地重复。但是我们记下一段旋律的时候，我们唱出一首歌的歌词的时候，我们念出那些美妙的语句的时候，是通过大脑一片空白然后强迫自己不断痛苦地重复吗？
在通过具象的实物建立数学知识的过程中，孩子们要突破很多的学习难点。比如有的孩子知道2个苹果加5个苹果，一共是7个苹果，但是2+7却不知道等于几，因为孩子并没有明白“数”的相加和“量”的相加的区别。
7个苹果，是“量”相加的结果，很直观。但2+5=7，是“数”的相加的结果。数的相加，需要抽象思维，需要在实物学习的过程中不断内化。而且这里面还涉及了一个“数群”的概念，就是一个数可以由较小的数组合而成，这些都需要在“量”的分合中积累经验，让孩子理解“数”也是可以分合的。
对于学龄前孩子来说，理解了这些，其实就足够了。数学学习，归根到底，需要孩子建立起抽象思维能力，孩子学习数学的过程，其实就是从动作的逻辑到抽象的逻辑。张俊老师说：“抽象逻辑思维是从具体的外在动作逐步内化，然后在头脑中进行重新构造，最终形成一种抽象的逻辑关系”。
这种思维的建立，是需要遵循客观规律的。皮亚杰将思维分成“具象思维”和“形式思维”（formal thinkin，抽象思维的一种）。具象思维在孩子六岁的时候就已经相当发达，而形式思维则要到十二岁左右才开始发展，并且需要一两年的时间才能完善。甚至有的研究者认为，形式思维在某些成年人身上终生也没能发展出来。
在我看来，越是抽象的东西，越需要具象的教育。我们要承认自己的无知，努力去理解孩子的世界，然后动用手边的实物，让那些飘渺的知识变成简单的、看得见摸得着的东西。只有这样，才能有效帮助他建立起属于他自己的知识大厦。
02. 进入学校之后不要迷信课堂数学
作为一个中国教育体制下的学渣，国外学校的数学优等生，我可以负责任地说，我们绝大多数的数学课堂上，什么都有，唯独缺的，就是数学本身。我们中国学生数学好，不是数学课的功劳，而是思想品德课的功劳，学生肯吃苦，肯刷题，但这和数学学习，是背道而驰的。
庞加莱说，一个数学的头脑，最显著的特色不是逻辑，而是美感。我相信，没有人会否认，数学本身，是一门浩瀚而又美丽的学科，但很可惜，我们的数学教育，完全不在意培养孩子的数学审美能力。我们的数学课，和数学并不划等号。
我曾经跟学生说，数学是一件很有趣的事。但相信在大多数孩子的眼里，这是一句骗人的话，甚至现在我自己回想起来，都没那么坚定了，因为我在闲暇时间里，会看书、看电影、听音乐，而绝不会选择做数学题这件“非常有趣”的事。
在孩子眼里，说学校里的数学很有趣的那些老师，“不过是一种有意或无意的骗子”。学生们的看法，基本是对的。
孩子们的数学成绩不好，就会被贴上“没有数学基因”“数学思维能力不足”的标签，但我们要看清一个事实，就是学校课堂上的数学课程设置，并不是基于多么科学、多么人性化的原则，而是首先取决于在学校课堂这个环境里，通过最原始的纸和笔，以一位老师同时教几十个学生的方式，学哪些东西能够完成数学训练的任务，仅此而已。
佩珀特曾经举过一个例子：在学校里，“解析几何”就是用曲线来表达方程式的代名词，所有受过教育的人都会模糊记得y=x² 是一个抛物线方程。虽然不知道这个知识有什么用，但是在他们的脑海里，这一切的背后一定有一个非常深刻的、科学的原因，这个原因让孩子们如果学不好这门学科，家长就会焦虑，老师就会给学生贴上差生的标签。
但事实的真相是：之所以让学生们学习这个知识，真实的原因，只是因为抛物线在纸上比较容易画出来，能比较方便的用原始工具完成而已…..
现在，锻炼数学思维的方式有很多种，通过摆弄积木、通过学习编程，甚至通过游戏都能够锻炼孩子的数学能力，家长对孩子数学学习最大的帮助，就是尽量不再被考试成绩绑架，尽量理解孩子学习的方法，认清孩子学习的本质，进行科学的引导。只要遵循了孩子学习的规律，总有一天，我们会收获属于自己的果实。
在希腊语中，所谓数学，其实就是学习的意思。孩子是天生的学习者，他们对学习的恐惧、对数学的恐惧，都是后天习得的。作为成年人，我们应该努力让自己回到幼儿阶段，回想一下自己是如何从爱数学、爱学习，到恨数学、恨学习的，然后，不要让我们的孩子再经历同样的悲剧，这也许就是给孩子营造的最好的数学学习环境。
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