发信人: lonski (lonski), 信区: Joke
标 题: 什么是庞加莱猜想
发信站: 水木社区 (Sun Jun 11 15:32:39 2006), 站内
关键词的解释:
n-1维球面:一个n维的欧几里德向量空间中,所有距离原点为1的点构成的集合.
比如:我们平时所见的平面,它是2维的欧几里德向量空间,那么1维球面就是单位圆.
类似的,3维空间中的2维球面看起来象足球.
拓扑学:拓扑学不研究空间度量的改变,而只研究空间形状的改变.
比如:足球的表面和一个正方体的表面分别构成的两个集合,在拓扑学中被认为是相同的,因为如果你用橡胶把它们给拓下来作成模型的话,我们可以通过简单的动作把两个模型变成一模一样的.而足球的表面和轮胎的表面却作不到这样.
单连通:给定一个空间,在上面画一个圆圈A.那么你可以沿着所画的圆圈尽可能挨着近的再画一个圆圈.如此不断的连续的重复下去.如果你发现了一种方法,使得你的圆圈越画越小,最后变成一个点.那么我们说圆圈A是可以缩成一点的.
如果在给定空间中,任意画的一个圆圈都能缩成一点,那么说这个空间是单连通的.
比如:足球的表面就是单连通的.
但是轮胎的外表面就不是,你可以找一个轮胎,在上面沿着轮胎的外径画一个圈,由于轮胎有洞,所以无法把这个圈缩成一个点.
流形:这是拓扑学最喜欢研究也是最主要研究的一类对象.定义很简单.
一个空间,如果他的每个局部看起来都象n维欧几里德向量空间,那么就说它是n维流形.
容易看出,欧几里德向量空间是最简单的一类空间,而流形是对它的一种推广.
比如:2维球面,地球的表面是一个2维球面.在麦哲伦没有环球旅行时,我们以为地球是平的,也就是说我们在局部看来,地球表面跟一个2维平面没有区别.那么这么看来,球面是一个2维流形.
比如:轮胎的表面(拓扑学叫环面),你放一个蚂蚁到一个超大轮胎上去,它傻不冷等的,也
觉得轮胎表面是平的,也就是说局部在蚂蚁看来,轮胎表面跟2维平面没有区别,那么这么看来,轮胎表面也是一个2维流形.
问题:是不是所有空间都是流形?答案当然是否.
比如:和流形差不多的例子有:你将两个球面通过各自上面的一个点,用胶水把他们粘起来,那么所的物体的表面不是流形.原因在于,你放一个蚂蚁上去转悠,在别的地方,蚂蚁会上当,认为自己所处地方应该是个平面;但是到了我们粘两个球的那个点,我们就露馅了,在那个地方,蚂蚁可以明显看出来不是一个平面,因为在那个点局部看来象X.
比如:和流形差很多的例子:随便找一个分形的图象,局部复杂的不得了,它不是流形.
紧致:一个空间叫紧致的,如果它不会无限的延伸.
比如:2维球面就是紧致的,但2维的平面就不是.
好,我终于可以说什么是庞加莱猜想了.
庞加莱说:任何一个n>=2的紧致流形,如果它是单连通的,那么它一定是n维球面.
这个问题有一个牛人(忘记名字了),将n>4的情况证明了,猜想正确.
后来又一个牛人,把前一个牛人的方法梢加改进,将n=4的情况证明了,猜想正确.
n=2的时候,就是大家常见的2维球面,用脚想想都知道猜想正确.
所以就差n=3的情况.前面牛人的方法不能用了.然后过了好久,大家想啊想,终于有一个叫Hamilton的美国人发明了一套几何而非拓扑(几何和拓扑都是研究空间的,但所用方法不太一样,互补关系吧)的方法去研究一些流形的问题,然后在前两年,一个俄罗斯人把这个方法用于庞加莱猜想,发现还真的有用,但是他没有完全解决,接着就发生了最近的故事.
这个猜想的意义在于3维流形的分类:
流形有很多，但是它们在拓扑意义下都有哪些是个很重要的问题.这跟几何,物理都有很重要的联系,因为毕竟流形是一类简单但又代表性很强的空间.
问题的结果是:2维流形分类很简单,上上个世纪人们就知道了,但是其它维数的就不确定.
显然下一个关心的问题是3维流形如何分类,那么首先就要解决n=3时的庞加莱猜想了.
另外,可气的是,一个苏联人证明出了如下结论:我们永远无法对n>=4的流形进行完全的分类.(数学中这种证明出永远无法证明的定理有许多,大家可以去了解一下,哥德耳定理.)
所以在流形分类这个问题来看,n=3的情形是最后的一块可以开垦的土地.
