1.动力学中的临界问题
两物体分离临界的重要条件：
[例1] 如图所示，光滑水平面放着紧靠在一起的A、B两物体，A的质量是B的两倍，A受到向右的力=2N，B受到的水平力=（9-2t）N，从t=0时开始计时，计算两物体何时分离？
解析：临界条件是什么？AB分离的临界条件是A、B之间无作用力，且二者加速度相等。
设A的质量为2m，B的质量为m，分离时的加速度为，则
对A：
对B：，
联立解得 t=4s
[例2]如图所示，物体B静止在台秤的秤盘A上，A的质量=1.5kg，B的质量=10.5kg，弹簧的质量可忽略不计，弹簧的进度系数k=800N/m。现给物体B施加一个竖直向上的变力F，使它向上做匀加速直线运动。已知t=0.2s时A与B分离。求F在0.2s 内的最大值和最小值。
解析：首先明确临界条件：
共速、共加速度、相互间作用力为0。
弹簧开始时处于压缩状态，
设压缩长度为，则有
k·=（）g
设分离时弹簧压缩长度为，加速度为，则
k· – g =
联立以上三式可得=6
显然，当x压缩最大时，F有最小值
=（）=72N
物体B在分离瞬间，F有最大值
=（）=168N。
2.滑板问题
滑板问题指的是物块在滑板上的运动问题，其核心是对摩擦力的理解和分析，注意当物块与滑板共速时是摩擦力的突变点，往往根据摩擦力的突变情况将运动过程划分为不同阶段进行分析。
[例3]一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5m，如图所示。t=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1s时间内小物块的v-t图线如图所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10.求：
⑴木板与地面间的动摩擦因素及小物块与木板间的动摩擦因数；
⑵木板的最小长度；
⑶木板右端离墙壁的最终距离。
解析：将运动分为以下几个过程进行分析：
⑴过程一：小物块与木板共同向右做匀减速运动直到木板右端撞墙。
已知位移s=4.5m，运动时间=1s，设加速度为，由图可知末速度=4m/s，则有
s=t+ （可视为反向的匀加速运动）
解得=1
此时木板与地面间为滑动摩擦力，有
，即
过程二：木板反向后向左以初速度4m/s做匀减速运动，小物块继续向右做匀减速运动，速度减为0后再向左做匀加速运动，直到和木板共速，整个过程小物块的加速度不变。
由图可知，小物块的速度在t=1s时间内，由减到0，设其加速度为，则有
,即
而，即
⑵当物块与木板共速前，木板的速度大于物块的速度，两者之间为滑动摩擦力，随着物块加速、木板减速，直到物块与木板共速时，摩擦力瞬时转为0，然后木板继续减速，木板与物块之间转为静摩擦力。
求木板最小长度即为求共速前物块与木板的相对位移。
在过程二中，木板受到地面和物块两个滑动摩擦力的阻碍，设加速度为，则
15m=（15m+m）g+ mg
解得
从木板反向起到物块与木板共速的时间为，则
解得
小物块的位移==1.5 m
木板的位移= =4.5 m
所以木板的长度至少为L==6m
⑶过程三：木板和小物块共同做匀减速运动，直至停止，此时二者的加速度大小和过程一相等，等于，设此段的位移，
初速度
由得
木板右端距离墙壁的距离
L'==6.5m.
3.传送带问题
传送带问题指的是物块在传送带上的运动问题，由于物块的速度与传送带的速度不同，就会产生相对运动，根据传送带的方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，其核心都是相对运动的变化导致摩擦力的变化分析。
⑴水平传送带：设物块初速度为，传送带速度为
①时，滑动摩擦力为动力，物块做匀加速运动，直到时，滑动摩擦力突变为0，物块做匀速运动；
②时，滑动摩擦力为阻力，物块做匀减速运动，直到时，滑动摩擦力突变为0，物块做匀速运动；
⑵倾斜传送带：设物块初速度为，传送带向上运动速度为
①、gsinθ>μgcosθ时，物块做匀减速运动；
②、gsinθ<μgcosθ时，滑动摩擦力做动力，物块做匀加速运动，直到时，滑动摩擦力突变为静摩擦力，物块做匀速运动；
③、gsinθ>μgcosθ时，滑动摩擦力做阻力，物块做匀减速运动，直到时，滑动摩擦力突变反向，物块向下做匀加速运动；
④、gsinθ<μgcosθ时，滑动摩擦力做阻力，物块做匀减速运动，直到时，滑动摩擦力突变为静摩擦力，物块做匀速运动；
[例4] 图示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距=3m；另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ= ，C、D两端相距=4.45m，B、C相距很近。水平部分AB以=5m/s的速率顺时针转动。将质量m=10kg的一袋大米放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜的CD部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5。试求：
⑴若CD部分传送带不运转，米袋沿传送带所能上升的最大距离；
⑵若要求米袋能被送到D端，求CD部分顺时针运转的速度应满足的条件及米袋从C到D所用时间的取值范围。
解析：⑴需要知道米袋到达B点时的速度
米袋在AB段的加速度
由可知
当s=2.5m时，速度达到，所以到达B点时，速度已达，
米袋在CD段上升时的加速度
设上升的最大距离为，则有
解得
⑵因为,即摩擦力不足以克服重力的下滑分量，意味着当米袋与传送带共速后，米袋将做加速度向下的匀变速运动。
设传送带的速度为，米袋的加速度与米袋的速度和的大小关系有关
当时，加速度=gsinθ+μgcosθ=10
当时，加速度= gsinθ-μgcosθ=2
设时的位移为，则有
设时的位移为，则有
米袋刚好可以达到D点时，有
联立以上三式，可解得=4m/s，即传送带CD的速度应满足大于等于4m/s。
当传送带取临界速度4m/s时，运动时间有最大值
==2.1s
当传送带的速度时，米袋的加速度始终为，此时运动时间有最小值,
解得 =
[例5]将一个粉笔头轻放在以=2m/s的恒定速度运动的水平传送带上后，传送带上留下一条长为=4m的画线。若使该传送带改做匀减速运动，加速度大小为a=1.5，并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一个粉笔头轻放在传送带上，问该粉笔能在传送带上留下一条多长的画线？
解析：首先明确在水平定速传送带上，共速前有滑动摩擦力，共速后无摩擦力。
前半段题目信息表明粉笔头从0加速到2m/s时，与传送带的相对位移为4m。
设粉笔与传送带之间的动摩擦因数μ，用两种方法分别求解：
方法一、设粉笔头的加速度为，则有
，得
而，所以.
传送带做匀减速运动时，滑动摩擦力先做动力，粉笔头做匀加速运动，设运动的时间为，然后达到共速，此时有
，得
粉笔头位移=
传送带位移
粉笔头与传送带的相对位移= =1m,
共速时的速度 =0.5m/s，此后传送带继续减速，经后停止，粉笔头也减速，经后停止，
粉笔头位移
传送带位移
粉笔头与传送带的相对位移= =m
负号表示粉笔头相对传送带向相反方向运动，所以粉笔能在传送带上留下画线的长度为1m，但停留在画线的长度处。
方法二、图像法，画出传送带定速时粉笔头和传送带的ν-t图，如图所示，显然，阴影部分的面积代表画线的长度，容易得出粉笔头的加速时间为t=4s，得出
传送带匀减速时的ν-t图所示，
由图中可见，在t=1s时，粉笔头和传送带共速，此时阴影面积即为二者的相对位移差，=1m，
在共速后，传送带在t= s时停止，粉笔在t=2s时停止，阴影面积即为二者的相对位移差，x1=- m。
两种方法，可仔细体会一下。
