“场”，是个广泛应用的概念；今天，我们从数学视角，形象地理解什么是“场”，以及一些基本的分析概念。
从一到多：函数与多元函数
在数学上，“函数”的概念，比如一个变量 u，随着坐标 x 的变化而变化，我们就说，u 是一个关于 x 的函数，写作：
u = u (x)
任何时候，有“一”，就可能有“二”，就可能有“多”。
所谓“多元函数”，就是函数中的括号内，有多个自变量。比如，u 是一个关于 x 和 y 的函数，写作：
u = u (x, y)
这就是二元函数了。
二元函数可视化：二维标量场
对于 二元函数，我们把对应 坐标 (x, y) 看作是平面上的“点”，每个点有对应的函数值 u (x, y)，我们用不同颜色表示不同的数值，画出来的平面长这个样子——
这就是一个【二维标量场】。（函数值是一个标量）
也就是说，u (x, y) 是一个二元函数，同时也是一个二维标量场。
这就是场的概念。
没什么神秘的。
如果这个 u 代表的是温度，则 u (x, y) 为温度场；同理，不同的物理量在空间中的分布，形成了不同的场。
在这个意义下，“函数”只是更强调“关系”，而“场”更强调“分布”，如此而已。
多元函数：就是向量的函数
我们知道，每一个空间中的点，其实对应着一个向量；也就是说，函数 u (x, y)，也可以写作：
u (p)
其中，向量 p 表示 (x, y)。
也就是说，多元函数的一组自变量，完全可以看作是一个向量。
多元函数，其实就是向量的函数。
向量场
另一方面，函数值 既可以是标量，也可以是向量，写作
u (x, y)
那么，此时形成的场，称为【向量场】。
向量场的“形象”就是许多箭头的分布——
研究场的方法：微积分
我们知道，研究函数的方法，叫做【微积分】。
所以，研究多元函数（场）的方法，就叫做【多元(函数)微积分】，也可以称做【向量微积分】。
“多”虽然比“一”肯定是要复杂一些，但“一”是“多”的根源，一脉相承，会“一”就会“多”。
普通的微积分，非常简单，咱们简单复习一下微分/导数和积分这些核心概念。
“导数代表变化的原因”，“原函数代表变化的结果”，比如——
积分就是用原因的积累来求结果，当然了，一定别忘了要从“初始状态”开始算——
所以，我们知道了，为什么自然科学统统都以“微分方程”为基础，因为微分方程就是表示出了导数与原函数的关系，这就表征了“因果关系”呀~
如果对普通的一元微积分的意义与学习方法感到兴趣的话，可参见——
理解学科真谛之——微积分
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多元微分：符号与形式
对于一元变量 x 的微分，写作：
dx
对于多元变量，或者说，对于 向量 需要一个新的 微分符号：
∇
这个符号，就是【向量微分符号】，读作 nabla。
不过，从“一”到“多”，从 x 变成 (x,y,z) 肯定会更复杂呀，因此导数的写法不是 1 种，而是出现了 3 种，分别称为“梯度”、“散度”、“旋度”：
梯度：∇u，也可写作 grad(u)
散度：∇·u，也可写作 div(u)
旋度：∇×u，也可写作 curl(u)
注意到，本文凡是标量均为不加粗字体，而向量均为加粗字体；可以看出，梯度和旋度是向量，而旋度是标量，它们的形式上的关系为：
符号形式的意义解释
从上面的公式看出，三者分别是Nabla算子（∇）与对象的“直接作用”、“内积”、“外积”，它们分别是什么涵义呢？
直接作用——∇U 梯度
梯度 ∇U 就表示标量场 U 的“空间导数”。
联想“梯田”；梯度方向就是每个位置指向最快上升的方向。
内积作用——∇·V 散度
线性空间中，e·a 表示向量a向e坐标轴上的投影，当把e换成∇后，由于∇是微分算子，所以∇·V表示“全方向导数”。
如下图，场中有两个特殊的点位一处好像是在向外发射，一处好像是在向内吸收。我们称为“源”，表示向量无中生有的源泉。散度，就是“源”的强度。
外积作用——∇×V 旋度
线性空间中，e×a 表示向量 a 向 e 的法向坐标轴上的投影，当把 e 换成 ∇ 后，由于 ∇ 是微分算子，所以 ∇×V 表示“法方向导数”，也即“角速度”。
旋度与角速度代表着场的同一性质，而角速度方向是向量场的“法向”。虽然不太严谨，但是我们体会到了旋度的真切的意义，那就是角速度。
形象一点，一个场中放几个小风车，旋转得快的旋度（角速度）就是大呀——
以上这三种理解，解释了为什么梯散旋会有这样的 Nabla 算子表达形式，我们也可以看出：梯散旋三者均表示某一种条件下的导数意义，这也是为什么它们都需要用微分算子的原因。
两个常用恒等式
有两个非常有用、非常有智慧的恒等式，称为：
梯度无旋 和 旋度无源
咱们分别用最简单的方法解释一下“梯度无旋”，即 curl (grad u) = 0
如图，梯度场是类似于力场的有势场，它的势既然有高有低，那么相对的高低在整体中就不能出现“矛盾”，如下图所示，右侧的有旋场，产生了 a>b>c>d>a 的矛盾——
梯度场无旋有一个形象的理解：“无限循环的楼梯是不可能存在的”——
另外，旋度无源，即 div (curl u) = 0，可以用角速度场来理解。（旋度大致相当于“角速度×2”）
如果感兴趣深入学习，可参见——
理解空间的奥妙：场的势、源、涡
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结语
数学只是一种表达人脑对世界结构观照的语言，因此，每个人对于数学一定是本自具足的。
数学中的概念，比如“场”，蕴含的丰富智慧，应该被每个人所拥有。
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