再探分段计费与优惠问题

我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电，水费、电费实行分段价格收费标准；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。这些人们日常生活中经常打交道的问题中，都涉及到分段进行讨论的问题。解决这类问题的关键是要理顺部分与整体之间的关系。

 

例1．依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2008年3月1日起，公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累进计算，王先生4月份缴纳个人所得税金55元，那么王先生该月的工薪是      元。

全月应纳税所得税额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
……	……

（2009成都中考题）

 

分析：公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税，若刚好超过500元时，需纳税500×5%=25元＜55元，由此可知王先生工薪在2500元以上。若刚好超过2000元时，应纳税500×5%+（2000—500）×10%=175元＞55元，由此可知王先生工资在4000元以下。

 

设王先生工资为x元，x—2000的部分为应纳税所得额，其中不超过500元的部分按5%的税率纳税，超过500至2000元的部分（x—2000—500）元按10%纳税。

 

依题意，500×5%+（x—2000—500）×10%=55，  解得x=2800

 

即王先生该月的工薪是2800元。

 

点评：在分段累进税制的计算过程中，计算某一段所得税时一定要注意减去前面已计税的所得额，不能重复计算。如本题中计算超过500元至2000元的部分税款，纳税所得额必须减去已按5%征税的500元。此外，解决这类问题，先由缴纳所得税金额估算月薪的范围，更有助于我们准确地列出方程。

 

例2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的，该市自来水收费价格见价目表。

价目表
每月用水量	单价
不超过6m^3的部分	2元/m^3
超过6m^3不超过10m^3的部分	4元/m^3
超过10m^3的部分	8元/m^3

注：水费按月结算。

 

若某户居民1月份用水8m³，则应收水费2×6+4×（8—6）=20（元）

 

⑴若该户居民2月用水12.5m³，则应收水费      元。

 

⑵若该户居民3、4月份共用水15m³（4月份用水量超过3月份），公交水费44元。则该户居民3、4月份各用水多少立方米？

 

分析：⑴2月用水12.5m³，按3段价格收费：6m³按2元/m³价格收费；超过6m³不超过10m³的部分共4m³按4元/m³的价格收费；超过10m³的部分按8元/m³的价格收费。

 

2月应收水费为：2×6+4×4+8×（12.5—10）=12+16+20=48（元）

 

⑵由该户居民3、4月份共用水15m³（4月份用水量超过3月份），则该户3月分用水量小于7.5m³，4月份大于7.5m³。应分几种情况进行讨论。

 

设该户居民3月用水量为x立方米，则4月份用水15—x立方米

 

①3月份用水少于5立方米（x＜5），则4月用水大于10立方米（15—x＞10）时。则3月应交水费2x元，4月应交水费2×6+4×4+8×（15—x—10）元

 

依题意，2x+[2×6+4×4+8×（15—x—10）]=44，解得x=4，

 

则15—x=11（立方米）    符合题意

 

②3月份用水不少于5立方米，但不多余6立方米（5≤x≤6），则4月份用水不少于9立方米，但不多于10立方米。

 

依题意：2x+[2×6+4×（15—x—6）]=44，解得 x=2

 

∵5≤x≤6，x=2不合题意。                                     

 

③3月份用水大于6立方米小于7.5m³，则4月份用水大于7.5m³少于10立方米。

 

依题意：[2×6+4×（x—6）]+[ 2×6+4×（15—x—6）]=44  方程无解

 

综上三种情况，该户居民3月用水4立方米，4月用水11立方米。

 

点评：第⑵问中要注意分类讨论各种极端情况，从而找出满足题意的解。其中合理分段是关键。

 

例3．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：

 

⑴某一次购物少于200元，则不予优惠；

 

⑵某一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；

 

⑶若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠。

 

小明两次去超市购物，分别付款198元与554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多物品，他需付款多少？

（江苏省竞赛题）

 

分析：第一次购物付款198元，因为200×0.9=180＜198，所以可能是未享受优惠的实价，也可能是按九折后的优惠价。因此应分两种可能讨论。第二次购物付款554元，显然标价超过500元。

 

①若小明第一次购物付款198元未享受优惠时，设第二次购物的标价为x元。其中500元部分享受九折优惠，超过500元部分享受8折优惠。

 

衣题意，500×0.9+（x—500）×0.8=554  解得  x=630

 

则小明两次购物的总标价为：198+630=828（元）

 

小亮若一次去购买小明分两次购买的同样多物品，他需付款：

 

500×0.9+（828—500）×0.8=712.4（元）

 

②若小明第一次付宽款198元为享受九折优惠的优惠价，设第一次购物的标价为y元。

 

依题意有，0.9y=198   解得   y=220

 

则小明两次购物的总标价为：220+630=850（元）

 

小亮若一次去购买小明分两次购买的同样多物品，他需付款：

 

500×0.9+（850—500）×0.8=730（元）

 

所以，小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多物品，他需付款712.4元或730元。

 

点评：在分段优惠的问题中，要注意顾客所付款是否享受了优惠。一般先要对享受优惠的最低消费进行估算判断，然后决定是否需要分类讨论。此外，要注意在不同的优惠段，不再包括前面已享受优惠的金额。

 

练习：

 

1．自2006年1月1日起，某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只要拿出10元就可以享受到合作医疗。住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表：

住院医疗费（元）	报销率（%）
不超过3000元的部分	15
超过3000元到4000元的部分	25
超过4000元到5000元的部分	30
超过5000元到10000元的部分	35
超过10000元到20000元的部分	40
超过20000元的部分	45

某人住院后得到保险公司报销的金额是805元，那么此人住院的医疗费是多少元？

（淄博市中考题）

 

（提示：先根据报销金额，估算医疗费的范围，在根据其范围分段累加报销费用列出方程。参考答案：4350元）

 

2．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给予优惠，超过100元而不超过300元时，按该次购物金额九折优惠。超过300的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠。小美两次购物分别用94.5元和282.8元，现小丽决定一次购购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？

（海南省竞赛题）

 

（提示：小美第一次购物付款94.5元，100×0.9＜94.5＜100，可能是未享受优惠的实价，也可能是享受了九折的优惠价，需分类讨论。第二次购物付款282.8元，282.8＞300×0.9，则第二次购物标价一定超过300元。参考答案：355.4元或366.8元。）