用有向面积盲解一道几何竞赛题

两点声明：

2. 个人研究，未必科学，仅供参考。

正文内容：

在前面“等腰三角形中一个有趣的性质”的文章中，我们曾提到数学与物理都有追求“统一性”与“简洁性”的价值取向．为此，在数学中产生了有向线段，有向角，有向面积等概念．本文给出一个用有向面积盲解一道几何难题的案例，我们从中体会“有向面积”的神奇魅力，以及数学追求统一性的价值．

一、何谓“盲解”

所谓“盲解”，并非遮住双眼解题，而是撇开图形，直接借助抽象运算或抽象论证解决问题．数学本是一门“数”与“形”高度融合的学科，无论研究，还是解题，常常需要图形辅助．有图形辅助，往往对研究方向带来启示，对过程理解更加深刻．不过，依附图形解决问题，容易有缺少普遍意义的缺憾．

因此，出于数学研究的乐趣，有时候喜欢追求对一个问题的盲解．果真实现盲解，说明对问题的理解更加深刻，解答过程也更加具有普遍意义．

二、有向面积

三、抽象运算

在“有向面积”及其“符号规定”下，将产生一些运算性质．熟练掌握这些运算性质，将对盲解将起关键作用．以下性质与图形无关，即对任意情况下的图形，结论都是正确的．但为了方便初学理解，还是提供了图形．建议你在图形理解的基础上，逐渐摆脱图形，学会抽象运算．

性质1  [ABC]＋[ACB]=0（相反数）

由“有向面积”的符号规定可知，这个结论显然正确．

性质2  [ABC]= [PAB]＋ [PBC]＋[PCA]（一拆三）

粗糙地说，性质2相当于将1个三角形面积表示成3个三角形的面积和．有趣的是，当点P在△ABC的外部时，这个结论依然正确．从中你将体会到，引入“有向面积”概念的价值，进一步理解“数学追求统一性”的内涵．

性质3  [PAB]＋[PBC]= [PAC]＋ [ABC]（共边和）

这个性质可以由前面的“性质2”推出（只要移项就行），但为了实现盲解几何题，应将“性质3”独立理解，形成记忆．如何记忆呢？

运算前：⑴2个三角形面积和；⑵表示两个三角形本应6个字母，但实际不同字母只有4个，这是由于其中有2个字母（P与B）重复出现了．若借助图形来理解，则相当于共边三角形；⑶一个相同字母“领衔”（P），另一个相同字母“搭头”（从AB→BC，字母B是“搭头”）．

运算后：⑴2个三角形面积和；⑵保留“领衔”字母（P），去除后面“搭头”字母（B），形成一个三角形（△PAC）；⑶去除“领衔”字母（P），只保留一个“搭头”字母（B），形成另一个三角形（△ABC）．

这个性质，理解似乎有点累，实际上非常容易．语言讲解生动活泼，文字表达僵化累人．这是没有办法的．

性质4  若AB∥MN，则[AMN]= [BMN]（平行换）

这里的“换”是“转换”的意思．

对于高中数学老师而言，这些抽象运算类似于向量加减运算．向量的加减运算，一方面，可以借助“三角形法则”进行运算；另一方面，对于高手而言，可以撇开图形，直接抽象运算．

四、解法示例

下面的例题源于2023年丝绸之路数学竞赛（Silk Road Mathematics Competiton）中的题目．丝绸之路数学竞赛是一项在丝绸之路上的国家举行的中学生数学竞赛，每年一次，每次四道题目，一般是代数、几何、数论、组合各一道题目．

（2023年丝绸之路数学奥林匹克）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是形内一点，N是△BMC内一点，满足AM∥CN，BM∥DN．求证：△ABN与△CDM的面积相等．

条件非常简洁：三组平行；结论：证明两个三角形面积相等．这样的题目，非常适用于用“有向面积”进行盲解．

与前面相同，下面解法与图形无关，始终正确．但考虑初学暂时不熟悉盲解，因此这里仍将图形附在旁边，方便初学审核每一步正确性．但果真你想成为一名高手，最终还是要争取摆脱对图形的依赖．

为了理解证明过程，注意以下三个细节：

⑴类似于“消点法”，将一个三角形的顶点字母逐渐转换成另一个三角形的顶点字母． 这里第一步“一拆三”时，嵌入了C字母；

⑵在“一拆三”后，不能立即用“共边和”，否则陷入逻辑循环；

⑶想方设法使用条件，穷则思变．条件用光，题目做出．

五、规范书写

熟练使用“有向面积”工具，解决这类问题将非常简洁明快．但有人产生疑问，在平时交流或考试过程中，知道“有向面积”的人少，即使有人知道，书写也不符合中学阶段的考试要求，怎么办呢？其实处理非常容易，只要将解答过程对照图形，进行适当“修正”即可．

主要两处需要修正：

⑴若三角形顶点字母逆时针表示，则保留；反之，若顺时针表示，则前面添加负号；

⑵凡是在证明过程中涉及到的三角形，该连接的线条全部连上．

仍以上题为例，提供常规“可读”解答如下：

如图，连接AC，BD，MN，则

能否达到“盲解”境界，通过前面问题的解答，产生三点体会：

⑴题目特征：条件是平行关系，结论是面积关系；

⑵“有向面积”与“符号规定”是构成统一性的核心；

⑶熟练掌握有向面积抽象运算是盲解的关键技能．

六、巩固训练

在“四、解法示例”中，第一步“一拆三”时嵌入了C字母．如果你想熟练这样的解法，建议你不妨在第一步“一拆三”时嵌入D字母，或者嵌入M字母解答试试看．我坚信，通过两次独立训练，你对用“有向面积”解决几何问题一定形成深刻理解． 

常见问题：

1.关于“数学行者”与“我的专场”回放视频，至明年2月份一直可以观看，遗憾是收费的。有人希望免费，可惜我没有这样的权限。再说，果真免费，也对不起前面付费的人。

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加我微信的时候，请附上“地区+姓名”信息，方便我保存。谢谢。

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