19 世记约翰・史考特・罗素（JohnScott Russell）的船舶设计理论承诺了速度、亦表现了优雅。然而，最终证实那个理论并不完整。
今天的船舶设计师们仍运用1800 年代末期英国工程师威廉・傅如德（WilliamFroude）所发展出的比例定律来预测船舶的速度与动力。但是远在傅如德之前，船舶设计者与造船者就已经知道，船体架构或船壳比例与形状会影响船在水中的速度，而且他们已经找出了支配那些关系的规则。
船体架构或船壳比例与形状会影响船在水中的速度。
在1500 年代末，一位名叫马修・贝克（MathewBaker）的英国造船者曾流传了出一张让他出名的素描。在这张素描中，他把一只有着鳕鱼钝头和鲭鱼锥形尾巴组合的混种鱼图像重迭在一艘伊莉萨白时代的军舰船壳图上。在当时缺乏任何科学或实验的基础之下，这种「船壳的形状应该由自然原理来支配」的想法仍然被广泛接受。
贯穿整个17 与18 世纪，科学革命孕育了有关流体力学和阻力的新概念，这些概念定义了船舶在水中行进时所受的阻力。由于想要建造更快的风帆动力战舰，欧洲各国海军委托了科学家与发明家们去测试这些概念。1800年初期，蒸汽动力用于在航海，其财务考虑带来了一个将流体阻力降到最低的额外动机：一艘蒸汽船的煤炭消耗量是直接关系到其运转成本的，而煤炭的消耗就取决于受到的阻力。早期的蒸汽动力船只比风帆动力的要快也更为可靠，然而它们的引擎效率并不好。造船者于是寻求快而高效率的船身，使得航行所烧的每一吨煤都能得到最充分的利用。
就在工业革命的那个年代、维多利亚时代的开端，有那么一位有数学思想工程师约翰・史考特・罗素（图 1），他开始要寻找一套通用的造船规律：一组能产生最小阻力的船身设计原理。他所完成的理论，被称为「波浪线理论」（wave-linetheory），主导了近半世纪的船舶设计世界。这一套理论不但引导了蒸汽船的设计，还加上得奖游艇与破纪录快速帆船。波浪线理论最终不再获得青睐而被傅如德（Froude）更严格的理论所取代；这一段故事，在总是复杂的科学与技术的关系之中，是一课颇具启发性的历史。
图1. 1847 年的约翰・史考特・罗素 （1808–82）。
制造波浪，和决定吃水线？
作为一位广受尊敬的造船者，罗素于1821 年到1825 年间在英国格拉斯哥大学（Universityof Glasgow）读数学，随后借着制造蒸汽车与船用蒸汽引擎学会了机械贸易。他结合理论与实践的训练在当时英国几乎无人能及。
1835 年，他在寻求方法改善新开发的蒸汽船时开始发展波浪线理论。在当时，科学家们已经确认船舶航行所受的阻力主要来自流体压力与摩擦。但是，罗素却正确地主张产生波浪的是另一个重要因素。不过，他错误地把波浪的产生只归因于船身的形状；实际上，无论任何形状，物体在水中移动时都会产生波浪。罗素力争，因为传统船身的吃水线都是钝形的——这是指船身前端与水接触的部分，也就是船头两侧形状是凸面的——所以当船必须持续把水推开才能前进时，就一定会产生波浪。罗素相信，一个有适当向内的凹面或洼陷的船头，会将水向两侧排开而不会产生船头波。
一个有适当向内的凹面或洼陷的船头，会将水向两侧排开而不会产生船头波。
罗素在接着的 8年里努力的想要决定吃水线到底必须是甚么形状。英国科学促进协会（TheBritish Association for the Advancement of Science，简称 BAAS），一个新成立的皇家学会（Royal Society）的竞争者，给了他 1132 英镑——相当于今天的一百万——让他研究海浪的本质以及发展能减低波浪产生的船舶设计。这是该协会在那个时候所付出第二大笔的经费。
大小从 3英尺长的模型到 200 英尺长的远洋航舰，罗素建造了并测试了超过 100 种船身。透过先前的实验，他开发了精巧的技术：运用了悬吊自高支架的重物与滑轮系统来拖动船舶模型与运河船。在那些早期的实验中，较高效率外型的船身自然跑得更快，但是阻力与速度之间的关系却很难精确量化。罗素没有单纯的只去纪录悬挂重物的落下时间，他使用了一种相对新颖的「弹簧动力计」直接量测航行受到的阻力，弹簧动力计还可以同时将得到的数据转换为驱动船只所需的马力。在各项试验之中，罗素甚至观察到在运河中传播而不会减速的奇怪「孤波」（solitarywaves，后称soliton）。孤波在光学与通讯里扮演了重要的角色。
罗素在1843 年向BAAS 报告，在历经几千次实验后，他发现了一种后来称为波动线理论的新物理定律，「在这个理论里，似乎每一种独特形式与大小的船身都对应一个速度。」换句话说，罗素宣称他发现了一个不论大小、任何船身设计都应该服赝的基本原理。
历经千次的实验，罗素终于发展能减低波浪产生的船舶设计。
什么是波浪线几何学？
罗素新定律的前提是，一艘船的船身形状必须与它产生的波浪形状一致。他假设有两种形式的波浪与船所受的阻力有关：船行进时推开的水所产生、在船前方的「正弦移动波」（sinusoidalwaves of translation），以及由风所驱动、回填至船通过后所空出来的空间所产生的「摆线船尾波」（cycloidalwaves of replacement）。
罗素主要的研究聚焦在移动的波浪。他从实验得到一个结论，就是正弦波的长度 L必须遵守公式 L = 2πV2/g，其中 V 是船速、g 为重力加速度。罗素认为若要将阻力降到最小，船头两侧的形状就必须是长度为 L的正弦。他从来没有完全讲清楚过他的论据，只是说这样的对应关系能在平的水面产生最小的扰动——先别管水面其实沿垂直方向上下振动，而罗素的船身在水平面是正弦形的。所谓的波浪线船头号称会劈开迎面来的水，而不是将水向前推开。为了证实这个想法，罗素驾驶了一艘这么设计的船穿过漂浮着小球的水面，他观察到那些小球并没有撞向船头，而是单纯的被向两侧推开。
同样地，罗素主张船尾的形状应该做成摆线形以配合回填的水波。由于这种水波的长度是移动波长度的三分之二，所以船尾的长度应该是船头的三分之二。而船舶的全长可以借着在中间加进一段平行船身来调整。例如，一艘船以10 节（每秒17 英尺）速度行进时所产生的移动波长度是53 英尺，所以设计一艘以这个速度航行的100 英尺长的船应该有53 英尺的正弦形船头、12英尺直的中段，以及 35 英尺的摆线形船尾（图 2）。
图2. 依照波浪线理论所订出船身几何形状的三个关键元素，图／物理双月刊提供。
波浪线理论：船头形状必须是正弦的才能与船只前沿所产生的移动波相匹配；船身后段／船尾必须是摆线形才能与尾随的替代波相符；船身中段，由于假设没有波浪，所以必须是直的而且与船身中线平行。船首与船尾的长度各自依据移动波与替代波的长度决定，而船身中段的长度则视船只的全长来调整。
在这里我们必须开始注意有甚么是波浪线理论所没有顾到的。波浪线理论并没有提供一个方法来估计「兴波阻力」（wave-makingresistance，即船只行进时，推动水面形成波浪所损耗能量对应的阻力）；罗素单纯的、错误的假设依据波浪线设计的船身的兴波阻力为零。同时波浪线理论并无物理基础；尽管罗素宣称他做了好几千次的实验，但能用来阐明兴波阻力机制的数据却很少。
罗素坚持的正弦曲线以及摆线只能说是一种几何描述性概念，而不太算是一个物理理论。最终，与罗素断言相反，他的波浪线并无法为每一艘船只提供保证成功的范本。船舶设计始终必须在速度、稳定性、强度与其他一堆因素之间寻求妥协。就波浪线来说，船身为了支撑其重量必需足够吃水，往往就表示必须修正罗素原来想象的吃水线。
应用在蒸汽船的情况⋯⋯
罗素由BAAS 赞助的研究成果发表之后，他的波动线船身设计理论就获得蒸汽动力船造船者的拥护，而蒸汽动力船舶在那时候已经快速地在英吉利海峡、北海、爱尔兰海等等贸易航线上取代风帆动力船舶了。在那些水域航行的贸易船只必须相当快速的完成短程输运；造船者看到比较尖的船身都认为那是产生速度的理想形状，以致向内凹进去的吃水线设计在1845 年之后大为流行。
虽然波浪线设计的汽船一般来说可以令那些船长们满意，但仅仅使用波浪线公式并无法保证一艘船舶的成功。举例来说，苏格兰的造船者詹姆士・纳皮尔（JamesNapier）依据罗素理论所建造的几艘在爱尔兰海航行的汽船，就都通通不及格，这使得纳皮尔的每一条船都大亏其钱。
皇家海军第一艘装甲战舰HMS 勇士号。
虽然1895 年时罗素已经是伦敦一位著名的造船者，但是他没有标到建造皇家海军第一艘装甲战舰「HMS勇士号」（HMS Warrior）。不过他说服了海军调查员保德温・华克（BaldwinWalker）在建造新舰时采用波浪线概念。勇士号的首席造船技师埃撒克・瓦特斯（IsaacWatts）跟随华克的决定，为战舰制作了产生波浪线的向内凹陷的吃水线，但是船头剩下的部分则仍旧依照传统设计。而且瓦特斯也断然拒绝了后来罗素要求分享一半勇士号设计功劳的尝试。
罗素的确运用波浪线建造了他最著名的船——在1859 年开始营运的「SS大东方号」（SS Great Eastern，图3）。这船长 600 英尺、排水量 27,000 吨，在那个时代是最大的一艘船，准备从英国载客到澳大利亚。然而尽管是这么大的船、还加上先进的船身外型，大东方号却从来没有去过南半球，她只数次横渡大西洋，也没有赚到利润。
图3. 「SS大东方号」（SS Great Eastern），约翰・史考特・罗素最著名的波浪线船。
尽管如此，大东方号的乘客之一，朱尔・凡尔纳（JulesVerne）由于对大东方号的波浪线船身印象非常深刻，因此给了他灵感在他的著名小说《海底两万里》或译《海底历险记》（TwentyThousand Leagues Under the Seas）里写了一段。在小说里他这样描述他的虚构潜水艇「鹦鹉螺号」（Nautilus）：「有线条…足够长而且她的船尾够宽，能让回填的水轻易的流出，而且让潜艇的行进毫无障碍。」。
如果用在风帆的情况？
虽然波浪线理论原来本是为了蒸汽动力船而发展的，却在帆船上发挥了最大的功用，特别是在1800 年中期到末期的快速帆船（clipper）和游艇（yacht）上。快速帆船是被建造来快速输运旅客和易腐烂货物的；游艇则是被造来赢得比赛中。这些船只的设计与建造的每一方面都可以说是以快为本。
快速帆船最初是1840 年代由一位任职于纽约史密斯与戴蒙（Smithand Dimon）造船厂的年青人约翰・葛瑞菲斯（JohnGriffiths）所发展出的。葛瑞菲斯想设计一款新型的船舶，以便在当时和中国之间快速扩大的茶叶贸易上捞到好处。他精通那时最新的船舶设计理论，也研读了罗素各种波浪线理论的报告。他最先设计的几艘快速帆船：1845 年的「彩虹号」（Rainbow）和 1846 年的「海魅女号」（Sea Witch），就是受到罗素向内凹陷吃水线的启发；这个设计使得往返美国－中国的航程几乎缩短了近乎两个月。图 4（a）所示为海魅女号船头的波浪线。葛瑞菲斯设计的快速帆船是名列最快船只之列：1849年由海魅女号所创下的由纽约到香港的纪录，一直到2003 年才被打破！
图4.（a）快速帆船「海魅女号」与（b）赛艇「美国号」（America）的船身设计图。在第一批造出的快速帆船之中，海魅女号在 1849 年创下了往返纽约－香港只花 74 天的纪录！1851 年，当时吃水线几乎完全遵守波浪线理论所设计的赛艇美国号，完胜「美国杯」（America’s Cup）帆船赛。
葛瑞菲斯在快速帆船的成功，刺激了一股在纽约与波士顿采用向内凹陷吃水线造船的热潮。快速帆船造船者罗伯・马凯（RobertMcKay）在一次造访伦敦时简洁的向罗素表示：「我有个秘密，就是我在建造我所有的船时都采用了波浪的原理。我最早是在大英协会（BritishAssociation）的出版品里发现了波浪线的说明。」
波浪线成了游艇社群的一个更加招牌的设备。罗素帮英国铁路工程师罗伯・史蒂芬森（RobertStephenson）建造了一艘波浪线游艇「泰坦尼亚号」（Titania），就是这一艘船让史蒂文森得以加入那个贵气十足的「皇家游艇连」（RoyalYacht Squadron，简称RYS）。1851 年的时候，皇家游艇连的会员邀请他们的同级对手「纽约游艇俱乐部」（NewYork Yacht Club，简称NYYC）的伙伴们到英格兰怀特岛的考斯（Cowes,the Isle of Wight）比赛「一百畿尼杯」（HundredGuinea Cup/£100 Cup）游艇赛——这是皇家游艇连举办的比赛里的最高殊荣。（译者注：畿尼（Guinea）是英国币值单位，一畿尼等于一英镑，一百畿尼杯的奖杯价值一百畿尼，大约是今天的十万英镑。）
1/4畿尼。
皇家游艇连的好手们不知道，来自纽约由乔治・史悌尔（GeorgeSteers）所领导的队伍，已经准备好了他们自己的波浪线游艇来参赛。史悌尔曾经是葛瑞菲斯的造船伙伴，并而且向葛瑞菲司学会了波浪线理论；他完全遵照了波浪线理论建造了他的「美国号」（America）纵帆船（见图 4（b））。
美国杯帆船赛原名「一百畿尼杯」（HundredGuinea Cup），就因为美国号超凡的表现，后来改名为美国杯帆船赛。（改编自 C・G・戴维斯（C. G. Davis）所著《美国快速帆船海魅女号：1846 纽约制造》，1935 船舶制造厂出版（U.S. Clipper Ship Sea Witch: Built at NewYork, 1846, Ship Studio, 1935）与参考数据。
在1851 年的 8月 22 日，美国号在怀特岛的帆船大赛里稳稳的击败了由 14 条船所组成的英国船队。美国号的胜利造成了大轰动，数日之后伦敦日报（LondonJournal）登载了一幅漫画，图中维多利亚女王问道：「那一艘游艇得到第二名？」她得到唯一的回答是：「啊，女王陛下，这个比赛是没有第二名的。」一个星期之后，在另一场比赛里，美国号对上了罗素自己的杰作泰坦尼亚号。再一次，美国号轻松获胜。罗素很有风度的承认对方的胜利并声称史悌尔对于波浪线的运用更胜他一筹。
伦敦日报（LondonJournal）。
波浪线赢得了国际的名声而且在美国号大胜之后被广为模仿。1860 年的时候罗素被任命为「皇家船舶设计学院」（RoyalInstitution of Naval Architects）的校长。然而并非所有的帆船玩家都相信波浪线理论。一位在麻省理工学院训练出的工程师，美国人那森诺・贺瑞修夫（NathanaelHerreshoff）明确的摒弃了波浪线以及所有其他所谓的「科学 理论」，在船身设计上只认同出自自身经验的自家产品。他工程上的直觉被证明几乎都是对的；自1893 年到1920 年，他设计并建造了连续五届美国杯的卫冕者，这里面包括了他1903 年的杰作「信任号」（Reliance）。这几条船没有一艘有向内凹陷的吃水线特征。
对于许多研究船舶设计的科学家与工程师，贺瑞修夫的非凡演出其实也不是那么令人惊讶。早在十多年前那些人之中有几个就已经开始发掘波浪线理论的缺点，而并没有花太久时间就看到那个理论出现了破绽。
波浪线的终结
在那些质疑波浪线理论的诸多科学家与工程师之中，有一位名叫威廉・蓝金（WilliamRankine）。他自1857 年开始，执行了一个为期十年的船舶阻力研究之后，得到了一个结论，就是船舶行进所遭遇的阻力最重要的来源是散流在整个船身周边的「摩擦涡流」（frictionaleddies）；注意，摩擦涡流的作用不只是在船头与船尾，而在整个船身。但是，蓝金用来计算阻力的理论，虽然后来证明大都是对的，用在处理日常的造船工作时就嫌太复杂了。
又有一位大名威廉・傅如德，曾经一起参与建造大东方号，亦熟悉罗素，也加入了船舶阻力的研究。1865年的时候，他决定要比较一下罗素的尖型波浪线和另一种比较圆的，他说他的想法源自「水鸟的眼光」。他建造了两组大小不同的模型船，一组是有波浪线的「渡鸦」（Raven），另一组船尾是钝形的「天鹅」（Swan），然后把这两种模型船拖在一艘小的工作船后面。实验结果发现，在高速时天鹅表现出的阻力比渡鸦要小，傅如德也开始确信阻力可以依照比例随着船只大小予以预测。
BAAS 协会反对使用缩小版模型的行为来预测全尺寸船只结果的作法。
1868 年，BAAS 委托了更多船舶阻力的研究案，而蓝金和傅如德都参了一脚。在正式的报告里，协会反对使用缩小版模型的行为来预测全尺寸船只结果的作法。但是傅如德基于他所做天鹅与渡鸦的实验结果，并不认同协会的看法。运用了得自皇家海军（RoyalNavy）的资金，傅如德在位于托基（Torquay）、他家附近建造了一个模型测试储水池，并且在 1871 年开始实验。经过十年研究，傅如德和他儿子罗伯（Robert）发展出了船舶阻力的比例定律以老爸名字命名。
经过超过一个世纪的理论与实验的证实之下，傅如德的定律架构里说明了船舶所受的总阻力来自两个可视为独立的因素：
（一）压力，就是在整个船体全长产生能量耗散波浪系统的压力
（二）摩擦，就是由水施予船体表面的黏滞阻力。
波浪线理论只有船头与船尾会产生波浪的前提，被一个更基本的理解所取代。这说明行船时产生的波浪，就是整个船体向其周围的水所输送的能量。
到了1890 年代，蒸汽动力已经超过风帆成为商船推进的主要方式。船主们开始对增进煤及后来的油的效率投资更多的投资。在同一时期，全世界也在纷纷建造傅如德于托基做的实验所用的缩小版模型测试储水池，而模型测试的结果都确认了傅如德所建构的定律。船舶设计所涉及的科学很快也成为了在那些实验设施里工作的工程师与科学家的研究领域（图5）。缩小版模型的实验是相对容易与以及低成本，与傅如德的比例定律相结合后，模型测试对造船者以及海军而言是有成本效益的方式，如此他们能发展有效率的船体形状，同时降低燃料开支。
图5. 一个现代的模型测试储水池、一座用来研究小型模型船流体力学的现代牵引水槽。由于那些流体力学服赝定义明确的比例定律，小型模型可以用来估计远洋航行船只的速率与动力。图／史帝文理工学院的戴维森实验室（DavidsonLaboratory, Stevens Institute of Technology）同意刊出。
模型测试也逐渐显露其他影响船只速度与动力的因素，包括船身摩擦与流入螺旋桨的水流的形态。这些新考虑质疑了所有几何推导出的吃水线有效性。1906年一篇刊登在畅销的《工程学》期刊（Engineering）的论文认为：「早期船舶设计者绞尽脑汁要寻找一个『最小阻力』形状的问题，除了在这个层次之外是仍未获得解决的。这个层次就是科学的造船者已经知道，没有哪『一种』船身的形状能在『所有』的状况之下都是最容易驾驶的；所谓『最小阻力』的船身形状则是对应于不同的速率、长度以及其他利豪发棋牌竞技船身状物体的变量，有所不同。而约翰・史考特・罗素先生著名的《最小扰动与可能的最小阻力的波浪线形状》只是演绎自…他所假设的公理。」
该论文明言，这个主题「只能在测试水槽的辅助之下得到阐明」。确实，在1893 年由美国造船技师戴维・泰勒（DavidTaylor）所著的、有影响力的著作《船舶的阻力与螺旋推进器》（Resistanceof Ships and Screw Propulsion）中，几乎完全只专注于模型测试结果，而对罗素的波浪线理论一个字都没提到。
故事还没完⋯⋯
虽然罗素的波浪线概念无法存留超过19 世纪，但是18 世纪明确的理想——最小阻力的几何固体——活了下来。尽管被指出并无物理基础，这种固体可能存在的想法仍继续支配着一些甚至是20 世纪的工程师。
在最有名的例子，1934年美国航空工程师戴维・戴维斯（DavidDavis）申请了一种低阻力机翼设计专利，设计原理完全只基于摆线形状的几何考虑。回顾罗素的论点——摆线形是优化船尾的形状，戴维斯的专利宣称他的「最有利机翼形状」是「发展自一个公式，该公式是基于一个在流体中同时具有旋转与平移运动的旋转翼所产生的马格努斯效应（Magnuseffect）」。
最小阻力的几何固体理念仍持续影响20世纪的工程师。
在这里把马格努斯效应扯进来其实是有点暧昧的，因为马格努斯现象只与自旋的物体相干，而戴维斯的机翼并不旋转。但是即便如此，戴维斯的机翼仍然受到了「统一飞机公司」（ConsolidatedAircraft Corp）的注意，这家公司当时正在发展一种新式的长程轰炸机——就是后来的 B-24。当统一公司测试了戴维斯的机翼之后，发现流经机翼大部分表面的气流都是非湍流的稳定流线，因此大幅降低了阻力。于是飞机公司就采用「老戴机翼」接续制造后来被视为大成功的B-24。好几年之后，大家才了解到这个低阻力背后的物理是所谓的「层流机翼」（laminar-flowairfoils），工程师们也就在那个时候才了解到戴维斯的摆线碰巧落在几种层流机翼形状的其中之一。看来戴维斯发表的机翼比较像是碰巧踩到狗屎般的好运而非出自刻意的设计。
约翰・史考特・罗素与他在造船界半世纪长的主导似乎也颇为相似。然而，即使证据显示他几何构想的基础，事实上只是建筑在沙滩上的一段时间之后，他那个「最小阻力形状」依然风姿不绰。部分魅力可能因为他的理论看来就是那么简单。但是另一个隐藏在波浪线和其他几何导出形状持久不坠背后的因素，应该是罗素作品的视觉美。这世界事实上没有多少事物能比那些过去岁月中的快速帆船与赛艇优雅的船身还要漂亮。
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