统计力学的发展很奇怪。在序中提过，它是一门“头重脚轻”的学问。从基本假设出发，主要是向上发展。物理、化学、材料等各行的专家，把它应用到各种模型上，成功地解释了不少现 象。数学家把它美化、抽象化，用严密的证明导出它的一些后果。向下的发展，就比较差了。物理学家们对基本假设的根源，虽 有兴趣，但不很热衷，这问题太难了。
物理学家本来没有逃避难题的习惯，大概感于应用的成就， 看轻了了解根源的重要。于是这向下探源的工作，虽本是物理学 家的 事 ，却交到一些大数学家手中。只可惜数学家喜欢的是漂亮 的数学，有时会把物理的一些要求忽略了。
事实上，基本假设的了解，不只是一个物理问题。也是对所 有不规则现象的了解。如何从规则的运动定律，导致不规则的结 果?这是一个很普遍的问题。
原理方面是一难题，应用方面，也并非容易。虽然应用相当成功，但是大多计算都用不一定可靠的近似法。照以上诸篇的经 验，一旦交互作用不能略去，则问题变得非常困难。这困难和对基本假设的难题，大概是分不开的。
在这一章，我们先总结一下本书对基本假设的看法，也就是对统计力学的基础的看法。再讨论“遍历性”、“系集”、“混 合性” 之类的观念。然后对传统的一些看法作一检讨和批评。轨迹的“不稳性”，在本章也略作介绍。
这一章的讨论，不能算是对统计力学现状的客观描述，而是本作者的一些主观意见。这些主见，在以上诸章已反复说过多次。此地再总结一下。
现在先复习一下基本假设在以上各篇的讲法。我们把运动变量分成两类;一为不变者，即在观测时间内不变者，二为快速变动者，即在此时间内不断地改变者。然后我们定义“活动范围”为所有变动变量所包括的形象之集，即合乎不变者条件下， (即不变者为定值) 所有形象之集。以上诸篇再三强调; 不变者是在 观测时间内的不变者，视时间长短而异，在许多情形下，那些 变，那些不变，并非显而易见。活动范围的严格定义，不免要用到详细运动轨迹。
令 为活动范围之体积，即范围内形象之总数。基本假设是: 熵为 之对数
这假设还要加上以下的条件才有用，这条件是
是粒子数或变量的总数。从 (1) , (2) 整个热力学可以推出，所有 的平衡性质可以算出。这是第二篇的结论，也是第二十三章的讨 论内容。注意，条件 (2) 极为重要，没有它，就没有热力学。在第四篇以下，我们把这条件看成各运动变量的大致独立性。因此， (2) 就是独立性的假设。在讨论中央极限定理时(第十二章，及在第六章末)，我们指出，大值变量( 变量)的时间平均值和它在活动范围中的平均值相同。再者，大值变量的起伏，循常态分布，为 。这个结论也可以写成
是总观测时间， 是一子集，其容积为 且大小和相若:
为轨迹在 内的逗留时间。这些也是 (2)的结果。(见第十二章) 可以解释成形象在 内的机率。注意 ， ( 为有限时间，绝不能看成的大数。 必须是大子集，否则 (3) 无意义， (见第十二章第 9 节)。大值变量的起伏，和热位能的微分有直接的关系， (见第十三章)。此地“大值变量” 指物体各部变量之和，如总磁矩是各部磁矩之和。其平均值可能是零。此类变量也包括了像
这样的变量，它是密度乘 之和。总之，上述的基本假设， 足以用来分析所有热力和散射实验。
总言之， (1)是一个了不起的大胆假设，它把微观运动变量经和热力学的熵连了起来。从推理的观点来看， (2) 是这假设的根本。要了解统计力学，必须了解(2) 。
现在我们先提一下“遍历性” 和“系集”，这是统计力学发展过程中两个重要的观念。
上述基本假设，并不是一个过分苛刻的要求，因为我们只讨 论大值变量，及大区域。读者须注意，在文献中，这基本假设以 各种不同的方式出现，内容亦常不同。波次曼写下这假设时，他 的想法是: 轨迹会经过活动范围中的每一形象，即有“遍历性”， 因此无限长时间 平均等于范围平均。这想法是错的，因为这无 限长的时间必须比 长很多，而一般观测时间为。要使任何一变量的时间平均等于其范围平均，是一苛刻的要求。本书说法并不作此要求，而只要求大值变量的时间平均等于其范围平均。这要求不苛刻，因为大值变量之值，在活动范围中几乎 到处一 样，轨迹不必经过每一形象，即不必“遍历”。
轨迹的遍历性，一直是力学中的一大问题[见 Arnold (1968)(Arnold, V.I. and A. Avez (1968) Ergodic Problems of Classical Mechanics (W. A. Benjamin, New York).)，杨维哲(1978)第六章，(杨锥哲(1979) “机率论” (民国六十八年国立编译馆，正中书局)。) 及其他'Ergodic Theory' 方面的书。]。许多数学家致 力于证明某些模型的遍历性。只可惜成果对统计力学还没有很大 的帮助。
读者请注意，文献中名词的定义并不统一。“遍历” 一词在 不同的文章内可有不同的含义。有些地方它的意义如上述。有些 地方，它指轨迹“大致” 经过每一点。有些人则称基本假设成立的情形为“遍历”， 凡基本假设不合用为“不遍历”，真是一团糟。读者必须要了解当时意义，以免受害。
波次曼的“遍历” 说，立刻被人攻击，他的一整套理论，包 括 定理，也都被人怀疑。大概因此他忧愤而终。
波次曼以后的统计力学，教吉布士打扮了一下，成为今天的 一般说法，也就是所谓“系集” 说。
系集说是把一物体的平衡态想成一“系集”，即无限多个结构相同的物体。每物体的形象都是形象空间中的一点。这些点分 布在形象空间内，可想成一“理想气体” ， (每一点为一“分子”)，需要至少 个“分子” 来定义分布)。
平衡态的性质，是这系集的平均性质。这种抽象的看法，有很多好处，因为我们对一团气体的流动、分布有相当强的直觉。吉布士因这想法，推出了不少有用的公式， (相当于第七章的计算法则)，和应用结果。系集也成了传统的基本观念。
不过这系集只是一个抽象的东西。事实上是只有一个物体， 没有无限多个。这一点吉布士本人在他书中也指出，但今天却常被忽略。系集这观念，只是数学观念，它并不能解决波次曼假设 的问题。如果波次曼的“遍历”被斥为不合事实，那这系集更是不合事实了。系集说的内容和波次曼假设相同，它把系集分散在活动范围。系集平均即活动范围平均。
吉布土之后，许多学者企图把这系集观念更抽象化，或赋于更实在的意义。今天，最普遍的想法是以系集表示实验者对物体的知识 [见 Tolman (1962) 。(Tolman, R.C. (1962)Principles of Statistical Mechanics (Oxford Un.iversity Press, London).)]，或“不确定程度” 。这种不确定的程度是看成一种“事前机率”，也就是说，在观测之前，物体形象有一个机率分布。对这种看法，在以上诸篇已批评了不少， (尤其是在第二十四 章）。在下一节我们再把这种看法和本书的看法作一比较，并作 一检讨。在此我们先提一下系集观点的一些常识。
系集即是形象空间中的一团云雾，它的密度可用一分布函数表之。现在假想形象空间是一 度空间， 物体是 个粒子， 其运动遵守牛顿定律。吉布士讨论 的改变，并把熵定义为
此地的适合归一条件。(5)的积分范围是整个形象空间。
系集中的每一系的运动都遵守牛顿定律，走出一条轨迹来。各系走出的轨迹不会相交， (如相交，则表示同一起始形象可导致不同的运动轨迹）。读者在学力学时，必曾学过“刘维定理”，即沿着轨迹，密度 不变。现在在形象空间中划定一区域，并令域中每点都照力学定律走动。这些点在一段时间 后成了另一区域 。根据刘维定理 ，和 的 容积是一样的，只是区域的形状会改变。从这些结果可证明吉布 士的熵(5) 是个不变量。显然 (5) 不能用来讨论熵的增加现象。许多人设法解释、修补这个“熵不变” 的不合理结论。读者不难想见，如果是个超球似的区域，在长时间后 ， 就会像变形虫一般地走了样， 再拉成了细长的面线状物，蜿延曲折地纠成一堆。如果在 时只在 内非零，则在时刻，只在这种面线中非零。(5)是这面球或面线的体积，并不代表这堆面线的混乱程度。我们不讨论 (5)的修补，因为它是创建在一个不正确的观念上。平衡态本来就不是一个瞬时观念，熵自然是须要一段时间来定义。这一点从本书一开始就强调。系集观念企图用无限多个物系的瞬时性质来代表平衡，是一个不合理的做法。这一点在第 5 节仔细再讨论。
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