摘 要
高斯定理是电磁学尤其是静电学的重要组成部分，由于其内容简洁却又隐含多个概念导致学生在学习高斯定理的过程中存在许多困难。在已有研究基础上，我们采用任务分析和样例问题解决的方法进行高斯定理的教学，并在课程结束后对学生进行概念测试和小组访谈。测试结果与选项分析表明，学生在理解库仑定律和叠加原理、高斯定理中物理量之间的关系、高斯面的本质和电场对称性判断四个方面存在困难。小组访谈分析表明，学生在高斯定理的应用中会忽视电场方向的可预测性以及场强的可计算性。对比匹兹堡大学的辅导课程，传统课堂中引入强指引性的教学方法并不能有效帮助学生建立物理概念的系统图式，甚至会使学生聚焦概念的局部要素，而学生对局部要素的泛化会产生迷思概念。我们认为模式上从传统课堂模式向合作学习模式的转变，方法上激发学生主动交互，评价上监控整个评价过程是提升教学效果、解决学生学习困境的根本应对策略。
关键词 高斯定理；任务分析；样例问题解决；合作学习；过程性评价
Abstract Gauss's law is an important part of electromagnetism, especially in electrostatics. Because of its conciseness and implicit integration of multiple concepts, students have many difficulties in learning Gauss's law. Based on the existing researches, we adopt task analysis and sample problem-solving methods to teach Gauss's law, and administer concept test and group interview. The results of concept test show that students have difficulties in understanding Coulomb's law and superposition principle, the relationship between variables in Gauss's law, the nature of Gaussian surface and how to estimate symmetry of field. The results of group interview show that students ignore the predictability of electric field direction and the calculability of field strength in the application of Gauss's law. Compared with the tutorials in Pittsburgh University, traditional lecture-based instruction with strongly directed approaches is not always effective in helping students to establish the system schema of physical concepts, and sometimes it will strengthen the local elements of concepts, result in some misconceptions. We believe that the transformation from traditional classroom mode to cooperative learning mode in mode, stimulating students' active interaction in method, and monitoring the whole evaluation process in evaluation are the fundamental coping strategies to improve teaching effect and solve students' learning difficulties.
高斯定理是静电学及麦克斯韦方程组的重要组成部分，它以简洁、隐性的形式将多个概念如库仑定律、电场、电通量、叠加原理等关联在一起，从而对学生知识整合的能力提出挑战。帮助学生理解高斯定律及应用方法，有助于培养学生推理和问题解决的能力。目前国外有许多研究调查了学生对高斯定理理解和应用的困难。Singh 发现学生在理解电荷与电通量的标量性、叠加原理、空心绝缘物体内部场强、电荷分布潜在的对称性、电场和电通量等多个方面存在着困难，而这些困难源于三个层面知识的缺陷：缺乏与特定概念相关的知识；能从记忆中提取却不能解释知识；知识能在基础水平上被检索和解释，却不能在具体情境中用于推理[1]。Li Jing 等人也发现学生在电场、叠加原理、电通量、对称性与高斯定理等概念中存在多种类型的困境[2-4]。
针对学生存在的问题，匹兹堡大学的研究小组开发了一系列相应的辅导课程来帮助提升学生对高斯定理等相关概念的理解[2-5]。开发辅导课程要求：（1）课程应建立在学生的前概念知识上；（2）营造一个积极地学习环境供学生交流以建立良好的知识结构；（3）提供支架、指导和反馈，给学生提供组织、重建和扩展知识的机会[2]。研究小组还提出可以通过任务分析的方法做出高斯定理的细粒度流程图，教师借用流程图有助于帮助学生渡过知识难点从而提升对概念的理解[5]。
当前，国内关于高斯定理的研究基本都聚焦内容和方法的讨论，鲜有文献涉及以学生为中心的教学和效果评价。在借鉴国内外已有研究成果的同时结合研究者教学环境条件，我们设计了一系列的教学任务和流程。首先，我们将已有研究所显示的学生概念困难融入到教学任务分析当中，建立细粒度流程图用于指导教学。其次我们辅助样例问题解决的教学策略，向学生强调问题解决的基本过程。最后，我们对学生进行了概念测试和访谈以反馈教学的效果。通过上述操作，我们探索该模式下学生对高斯定理概念的理解状况会如何，如存在什么样的困境，是何成因，最后尝试提出一些改进策略。
1 研究方法
参与本次研究的学生分属两所大学，太原师范学院（有效人数 260 人）和湘潭大学（有效人数 53 人）共计 313 人，他们都参加了电磁学的课程或大学物理中的电磁学部分。借鉴匹兹堡大学开发辅导课的部分研究成果，我们采用任务分析和样例问题解决的教学方式试图在传统课堂中提升学生对高斯定理问题的理解。任务分析法是在课堂教学时建立细粒度流程图，它能在教学过程中帮助教师去鉴别或解决学生概念学习中有障碍的部分[5]，且具有程序化、逻辑性和启发性强的特点[6]。图 1 给出了基于任务分析的高斯定理教学细粒度流程图，可以看出教师将教学内容层层分解，分类讨论，由简入深，对已有研究中学生存在的困境问题都做了详细地讲授和说明。样例问题解决有助于提升学生初始的认知技能，相比于一开始就进行问题解决，它具有节约资源和降低工作记忆负荷的特性[7]，有助于提升学生的问题解决能力[8]。我们的样例问题解决借鉴了哈佛大学 Mazur 研究小组的问题解决模式，将样例的问题解决过程分为四步：（1）分析问题，即更具体、详细地描绘和刻画题目内容；（2）设计方案，即根据分析问题的内容设计出求解问题的方案；（3）实施计算过程，即将设计方案转换成具体的数学运算操作；（4）评估结果，即对求解结果进行合理性评价[9]。图 2 给出了课堂中我们使用的样例。无论是借助细粒度流程图指导教学还是采用样例问题解决教学策略，两种方式都具有很强的指引性，实施过程中教师按照建构的概念流程图分步骤、阶段性地讲授内容知识，而样例问题则明确提示学生问题解决的步骤过程，二者结合应有助于学生跨越理解障碍，将知识拓展到具体的情境中。这构成了我们研究的基本假设。
课程结束后我们对学生进行了时长 50 分钟的概念测试。试题采用匹兹堡大学 Singh 研究组设计开发的“电场对称性和高斯定理理解”测试，包含 25 个选择题，内容涉及高斯定理及一系列相关概念（详细内容见表 1）。该测试被证明具有良好的信效度，可获得学生概念理解程度的定量信息[1]。试题测试结束后，为了探查学生出现错误的原因，我们同时进行了两项工作。第一，我们参考表 1 的试题概念分布，聚焦试题的重点干扰项，对学生可能存在的概念问题进行分析。该分析过程分三步：（1）本文的两位作者独立对难度低于 0.7 以下试题的干扰项进行成因分析；（2）对分析结果进行一致性比对，其中大部分结果基本保持一致，而个别题目经共同协商后也能达成一致；（3）将试题分析结果与高斯定理教学流程图以及已有研究相结合，归纳整理学生在高斯定理理解方面的困境。第二，我们针对测试中错误较多的题目进行了学生小组访谈。小组一般由三到四人组成，访谈过程中，教师让学生针对试题进行讨论并给出最终答案，访谈过程全程录音。
2 研究结果
2.1 量化研究结果
表 2 给出概念测试的各项统计数据，可以看到试题难度、区分度、点二列相关系数大部分都处于预设值的合理范围，克隆巴赫系数为 0.612。鉴于中美教学文化、行文风格的差异以及试题多概念关联的特性，因此该信度尚属可接受的范围。
测试分析结果表明，学生对高斯定理的理解及应用主要存在以下四个问题。
（1）不能利用库仑定律和叠加原理对电场进行预估。学生错误地假设在相对电荷分布不对称的位置上电场也是相等的，即不能利用库仑定律和叠加原理预估离散电荷以及连续电荷分布的电场。例如，92 人认为有限大均匀带电平板外不同位置的电场方向相同。208 人认为，在等边三角形三边上均匀分布电荷或三个顶点上等量分布电荷，该三角形所在平面上同心相似三角形各处的电场大小相等。160 人认为表面六个对称位置带等量电荷的球体，其外部同心球面上电场大小相等。研究表明出现这类错误的原因可能有以下几点：（1）忽视电场的矢量性质，而将场点与电荷连线的距离之和、与连接多个电荷直线的垂直距离作为依据来估计场强；（2）习惯于带入具体的数值计算而缺失使用物理概念和推理定性回答问题的能力；（3）混淆电荷分布对称性和带电物体的对称性，从而错误使用了高斯定理[2]。
（2）没有正确理解高斯定理表达式中电场、高斯面、电通量、净电荷四者之间的关系。例如，119 人认为高斯面的内部没有电荷，则这个面上任何位置的电场强度为 0。67 人认为通过高斯面的净电通量为 0，则这个面上任何位置的电场为 0。145 人无法通过电场线的净条数多少比较场源净电荷量。除了存在电场和电通量混淆的可能性之外[2,4]，结合高斯定理的表达式
（3）错误认为高斯定理中的高斯面必须是对称的，甚至拓展到只要选取对称高斯面就能求解电场。例如，在“为了高斯定理有效，高斯面选取必须满足什么”的问题中，有 107 名学生选择“高度对称面”这个选项。117 人认为无限大平板选取对称球面也能利用高斯定理求解电场。116 人认为围绕有限长均匀带电棒做对称球形高斯面可以求解球面电场。281 人认为沿着无限长带电线做对称面，无论是球体还是立方体甚至平面都能求解电场。从学生对高斯面对称性的特殊偏爱看来，他们似乎将高斯面的对称性与高斯定理求解电场进行了等价。学习的近迁移效应可能是导致上述问题的重要因素，因为测试前学生刚刚学习了不同电荷分布情形下的电场求解，这些例题无一例外都包含高度对称的高斯面。虽然我们使用样例求解电场时对高斯定理应用条件做出过详细的说明，但学生还是把大部分注意力放在高斯面对称性这一表面典型特征上，缺乏将其与高斯定理求解条件进行有力地整合。
（4）忽视场强空间分布，错误认为只要电荷分布或承载电荷的物体对称，就可利用高斯定理求解电场强度。学生在 15 个左右题目中都出现类似错误，例如，250 名学生认为表面均匀带电的立方体或者开口圆柱壳可以使用高斯定理求解物体外电场分布；有 90 名学生认为只要电荷在球形表面对称分布，就可以使用高斯定理求解球体外的电场强度；有 141 名学生认为哑铃状带电体可用高斯定理求解电场强度。科学理解和应用高斯定理求解电场的首要环节就是对电场空间分布的对称性进行分析，判断是否满足电场强度与高斯面积的变量分离，而学生似乎将电荷分布对称或者承载电荷物体的对称作为了应用高斯定理求解电场的充分条件。
2.2 质性研究结果
为深入了解学生困难的成因，我们针对测试题错误率高的三个题目进行了小组访谈并录音。质性研究不仅能够作为量化研究的有效补充，更为我们量化分析结果提供有效性方面的论证。
在第 6 题中（见图 3），有的 1/3 学生认为只要满足（Ⅰ）（Ⅱ）中的一个就可求解电场。有将近 1/4 学生认为，必须利用物体的对称性来选择高斯面。在讨论时学生表述如下（这里以及后面访谈内容都将隐去学生真实姓名，用字母代替）：
L：肯定就有Ⅱ呀。
X：哦，都有两个必须。
L：不是，而且它说都是必须要有对称性。
X：哦，它们说的都太绝对了。
Y：它一个用的是电荷分布的对称性，另一个是包含物体的对称性。
L：我倒觉得电荷分布有电场…(X：同时在读题，“所包含的物体的对称性”)
Y：并不是物体要对称，而是你们电荷量要对称，电场强度是对称的，是吧？
X：嗯，对，我觉得应该是电荷对称性。
L：那比如说物体的？
X：Ⅲ肯定不对，那就在Ⅰ、Ⅱ里面想。
Y：说过方向吗？高斯定理好像没有说过方向。
X：那就选Ⅱ啦。
Y：嗯，选 B。
从讨论中可以看出，学生认为电荷分布对称，电场对称，就可求解电场。她们忽视了高斯定理求解电场的一个重要条件：能够利用高度对称性确定高斯闭合面上任意一点电场 E 矢量方向（这里高度对称性指面元方向与电场方向之间的夹角为 0°、180°、±90°）。电场方向的可预测性对求解场强具有重要影响，因为电场方向可预测性是我们能否进行下一步数学运算的前提条件。学生对电场方向可预测性的忽视在 10、14、16、17 试题中都得到了体现。讨论过程中学生还说到：“其实我感觉我根本就没有理解高斯面真正的含义是什么”，“哦，就是糊的”，“对，就是简单的只知道公式，而且就不会应用。”“对，老师让我们说一下高斯定理，我就写一下公式。”从细粒度流程图中可以看到，我们针对高斯定理应用的条件曾做出专门的说明，但从学生的讨论中发现，通过任务分析对知识的结构分解以及样例演示似乎并不能有效帮助学生深化对高斯定理的理解。
在 11 题中（见图 4），有将近一半的学生认为，三个高斯面的选取都能计算电场，学生似乎认为只要选取的高斯面相对于带电体或者电场对称就可求解电场强度。他们忽视了高斯定理求解电场的另外一个重要条件：可以把闭合面分成几个部分，且每个部分的电通量都能计算并满足下面条件（ⅰ）根据电荷分布的对称性，每个部分的电场强度的大小都相同；（ⅱ）电场强度与面矢量垂直时，电通量在该部分为 0。一位同学这样说道：“我感觉这个题和第 6 个题其实是有联系的……那个Ⅲ选项，咱们就认为它必须是对称的，然后高斯面必须是对称的，为啥咱们会有这个误解呢？我觉得就是因为后面就是要利用高斯定理去求场强，选的那个高斯面都是对称的，所以咱们认为高斯面就是对称的。所以我觉得这个就应该选E啊。”从学生的话语中我们可以发现，学生意识到物体对称性可能不是影响高斯定理使用的因素，但依然将高斯面的对称性作为其应用的重要依据。他没有深刻理解高斯面选取的对称性源于对其数学计算的方便。在教学过程中我们介绍了多种电场求解并结合示意图说明其高斯面选取的依据，但学生似乎没有真正理解其本质而笼统地泛化“对称性”这一表面特征进而产生错误的理解。
在 17 题中（见图 5）有 80%以上的人认为立方表面均匀带电体或开口圆柱表面均匀带电体能够求解其外部电场。以下给出学生在 17 题中的讨论：
L：只有三个选项（解释：可能指的是三个模型）
B：求它的电场就是用高斯定理，做出它的高斯面。
C：嗯，先做高斯面。
B：就看哪个容易做出高斯面就比较好求。
L：可是高斯面是如何选取的呢？
……
B：不就是要、最好要还是对称的么？
C：但是它们都对称啊。
B：嗯，都对称。
……
C：这个不好做，因为不知道它在上面一点的话你还得测它画的那个相同长度的长、宽，所以说不好做这个。
L：那球不是也得做吗。
C：那球不是只要瞧一个半径就行了呀，就选择一个半径就行了呀。
B：意思是它如果做了的话，可是它会做一个正方形啊。
L：对，你可以做这样一个模型。
此时 C 有意识到对于立方带电体，做高斯面求解电场存在困难，但 L 和 B 则认为做一个立方高斯面即可。接着他们继续讨论,
C：如果要是那个点，比如说以这个面为标准，它的这个面前面那个面上，刚好在对应的棱上该怎么做？
B：棱上？
C：就是平行的它前面那个，跟这条棱平行的棱上。
L：嗯，那也是和在中间这个面上是一样的呀，就是和它那个面是一样的。
B：你可以找一个跟它平行的。
C：对，但是这个就是不好找。
我们观察到即使 C 提出在正方形的棱上的电场求解问题，L 和 B 还是没有意识到选取立方面作为高斯面有何不妥。以上小组访谈说明，学生不仅忽视了电场方向的可预测性，还忽视了场强的可计算性。
学生在高斯定理应用中聚焦“对称性”这一表面特征从侧面反映出强指引性教学策略的不足。无论是基于任务分析法建立细粒度流程图还是采用样例问题解决的教学方式，强指引性教学策略目的就是帮助学生能够分要素、分步骤、少弯路且快速地理解概念内容。但量化和质性的研究结果表明上述教学策略并没有明显改善学生关注概念表面特征的行为，促进对概念和原理的理解。相较匹兹堡大学的辅导课，我们的教学在知识传播形式和评价方式两个方面与之存在根本不同。在知识传播方式上，匹兹堡大学辅导课堂采用多人互动的模式，如生生互动、师生互动，在激发学生主观能动性的基础上还为教师实时监控学生思维动向提供最为适配的平台；在评价方式上，匹兹堡大学辅导课堂采用过程性评价原则，将课堂任务单具体到学生困境的每个重要步骤上，教师可以根据反馈及时调整教学策略并为下一次的教学提供有力的证据支撑。反观我们的教学虽然在前概念调研、任务分析上多有着力，但传播方式上还是脱离不了传统的单向式教学模式，即老师讲学生听。这种教学缺乏对学生具身参与的激活，失去对学生知识建构过程的把控。在评价方式上，我们的教学评价本质上仍然属于终结性评价的范畴，虽然课堂中我们也阶段性听取学生反馈，但是这只是小范围的、零星的，不足以作为过程性评价数据。从量质研究结果和课程对比分析我们得出，只有从根本上改变传统的教学模式才是提升教学效果、解决学生概念困境的有效应对策略。
3 应对策略
北师大张萍教授等人曾对传统教学中的困境做过深度解析，他们认为传统教学方法的局限性、对前概念的忽视、问题解决中对思维培养的缺失会导致学生物理认识论的负向移动，而改革教学模式和教学方法才是最有效地解决这些问题的办法[10]。我们的实践研究似乎再次印证了他们的观点。基于学生困境表现以及成因的分析，借鉴已有的关于高斯定理辅导课的开发经验[2-5]，我们认为后期的教学应在激发学生主动交互和课程的过程性评价两个方面做出改进。
信息的三元传播理论认为个体与个体之间的互动过程才能扩大共同解释范围，使观念或意义得以传达[11]。Vygotsky 的社会建构理论也认为只有在社会各成员之间的交互过程中知识才能得以建构[12]。根据上述理论，教学需要从传统的讲授模式向合作学习模式转变，激发学生主动交互。图 6 展示了合作学习的基本框架。在迷思概念的研究中，人们普遍认为学习是根据先验的知识即前概念来进行构建的[13]，这些先验的知识组成了学生头脑中的知识空间。diSessa 认为学生在刚开始学习新概念时所拥有的碎片化知识信息缺乏连贯性和完整性[14]，这些造成学生对视觉表现的理解往往局限于表面特征。通过学生之间相互交流与讨论，学生知识空间中的碎片化知识不断地碰撞、融合，加之教师从中调节，最终才能或“同化”或“顺应”成为每个人头脑中的一致性的共同解释空间—系统化的知识体系。小组同学间通过相互依靠、相互促进、发挥责任、和睦相处、定期反思这种交互中的深度学习有助于达成对科学知识的一致性建构，可以最终跨越困境的门槛迈向成功。
只有向合作学习模式的转向才能进一步为过程性评价提供真正施展的空间。吸取 Li Jing、Isvan 的辅导课开发经验[2-5]，我们结合任务分析细粒度流程图，针对学生的迷思概念设计具体的支架，让学生在课堂中可以深入展开讨论。通过对讨论过程以及纸质结果的记录，教师可以最大程度地追踪学生的思维发展动向，在评价教学效果的同时也为教学改进指明了方向。图 7 展示了我们就高斯定理求解电场条件针对性设计的任务单支架。该任务单支架形式借鉴了图尔敏的论证模型，每个问题包含三个部分，学生自己的观点、小组讨论的观点、教师评价[15]。任务单一方面通过合作学习，帮助学生提升分析、综合、评估的能力；另一方面通过过程评价，帮助教师进一步发现学生存在的问题以便后期循环迭代为课程改革指明方向。
4 结语
本研究以 313 名大一学生为研究对象，采用概念测试与访谈相结合的方法探索传统任务分析和样例教学方式下学生对电磁学高斯定理的理解。测试的量化和质性分析结果表明，学生在高斯定理概念理解及应用多个方面都存在着困境，除了学生本身存在着迷思概念外，传统教学方式的局限和过程评价的缺失也是造成困境的重要原因。借鉴三元传播理论和社会建构理论，本研究提出课堂教学方式应从传统模式向主动交互的合作学习模式转变，在任务分析细粒度流程图中的每个阶段聚焦学生的迷思概念，针对性设计教学支架以评价学生的学习过程。
在创建“金课”的大背景下，当前各个高校都在针对教学中所存在的问题推进课堂教学改革，提升学生知识整合及问题解决的能力。本文研究结果提示，教学改革不能仅依赖教师对教学内容信息组合方式的变换，它可能更需要教师关注学生学习过程本身，在获得大量的证据和数据基础上对整体课程做出更加科学合理的规划。只有获得更多基于学生学习的数据才能激发教师对教学改革的深度思考，将教学改革稳步扎实地向前推进。
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作者简介：马会芳，太原师范学院副教授，wlxmhf@163.com；李甜甜，湘潭大学讲师，ttli@xtu.edu.cn。
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