一、（例5）关于同余问题求被除数
1、一个正整数大于1，并且求出了它分别除以3、6、9余数都是1，这个数最小是多少？若这个数在2000以内，那么这个数最大是多少？
【解析】：1）设这个数设为N，那么有：
N÷3=……1，这个数N=4,7,10,13,16,19……
N÷6=……1，这个数N=7,13,19,25,……
N÷9=……1，这个数N=10,19,28,37,46,55,64,73,82,91,……
因而最小的数是：19，满足要求的数可以写成N=19+18n(n=0,1,2,3……);
[注]:此题咱们采用的枚举法，求出最小的数。
还可以这么解：3│N-1，6│N-1，9│N-1，即说明：18│N-1，得出N最小=19；
通用要求的通用的式子N=19+18n(n=0,1,2,3……);
2）让其19+18n=2000，得出n=110，即说明这个数最大是1999.
【注】：上题条件是：同余，求被除数，用的是被除数先减去余数，利用整除知识求最小公倍数的方法，而后写出一般的通用公式。
2、一个正整数大于1，并且求出了它分别除以3、6、9余数分别是2、5、8，这个数最小是多少？若这个数在2000以内，那么这个数最大是多少？
【解析】这题条件是：余数的补数相同，求被除数，用被除数先加上补数，而后利用整除求最小公倍数的方法，最后写出一般的通用公式。
N÷3=……2，
N÷6=……5，
N÷9=……8，
3│N+1，6│N+1，9│N-1，即说明：18│N+1，得出N最小=17；
通用要求的通用的式子N=17+18n(n=0,1,2,3……);
2）让其17+18n=2000，得出n=110，即说明这个数最大是1997.
3、一个正整数大于1，并且求出了它分别除以3、5、7余数分别是1、2、3，这个数最小是多少？若这个数在2000以内，那么这个数最大是多少？
【解析】这题条件是：余数或者余数的补数不相同，求被除数。一般先考虑前满足前两个条件的数，在满足最后一个条件，而后求出最小的数值，写出一般的通用公式。-逐渐满足法
N÷3=……1，这个数N=4,7,10,13,16,19，……
N÷5=……2，这个数N=2,7,12,17,22,27，……
N÷7=……3，
满足前两个条件的数最小是7，通式N=7+15n(n=0,1,2,3……);
那么：7│N-3，
7│4+15n，由于4+15n≡4+2n(mod 7)
所以：n最小等于5.
算出：N此时最小=7+15×5=82.
满足上述条件的N=82+105m(m=0,1,2,3……)
2）让其82+105m=2000，得出m=18，即说明这个数最大是1972..
其中上述这种问题又称为“中国剩余定理”。关于剩余定理的讲解可以见《2012年春季班第三讲的日记补充》。
二、关于求余数问题。（省略）
结合“积的余数等于余数的积"，当一些除法运算写成数幂的运算时，可以一起来找规律。
例7（基础、提高及尖子班）。
&超长挑战问题。
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