行程问题是小学数学思维训练的核心题型。行程问题的求解训练不仅可以把基本的数学方法融会贯通，还能应用到后续的其他问题的分析和求解过程。数学讲究“万变不离其宗”，而行程问题汇集了很多变化模式，可以让我们更深刻地理解“变”和“不变”之间的关联。
行程问题是小学阶段一类重要的思维训练题型。和差问题、倍数问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等都是大家比较熟悉的题型，它们的求解都是从一个最基本的思路出发，根据具体问题的条件设置做相应的变化。而不同的行程问题的求解能够体现前面几类问题的典型解题思想，而且行程问题的条件设置变化更多，因而能够更灵活地组合各种不同的解题思路。另一方面，在对行程问题的各种变化形态都理解透彻后，还可以把这些经验自然地运用到后续的其他问题类型中，例如工程问题。
正因如此，行程问题当之无愧地成为小学数学思维训练的核心题型。在开始学习行程问题以前，首先要通过和差问题等基本题型的学习积累基本的分析能力，然后通过对各种行程问题的求解训练把这些基本方法融会贯通，打磨好自己的思维之“剑”。铸剑过程一朝完成，就可以扬眉剑出鞘，应对其他问题的各种变化类型。数学讲究“万变不离其宗”，而行程问题汇集了很多变化模式，可以让我们更深刻地理解“变”和“不变”之间的关联。
下面我们来讨论一个行程问题的分析和求解过程。题目如下：
见下图。甲从A点出发，在AB之间不断往返。乙从C点出发，沿C-E-F-D-C的路径顺时针方向不断行走。甲和乙的速度分别是每秒5米和4米，各点之间的距离已经标注在图上。如果甲乙两人同时开始行走，甲第一次从背后追上乙的位置离C点多少米？
这道题来自群友 @老鹰，原始出处不详。感兴趣的读者可以自己先尝试思考和求解。作为分隔线，给大家分享一张笑脸集锦图，图中每个笑脸都暗含了一位数学家的代表性数学成就。来看看你能说出几个笑脸的含义吧。
分析：题目问的是甲从背后追上乙的位置，而甲和乙行走的共同路段只有CD这一段，所以首先要确定两人什么时候在这个路段上。此外，乙每次都从D向C走，而甲既可能从C走向D，也可能从D走向C。甲要从背后追上乙，必须是从D走向C。
甲要在DC段上追上乙，必须比乙迟进入DC段，而比乙早离开DC段。所以接下来我们要确定两人从D走向C的时间。甲在AB之间往返，其周期规律是每600米重复一次，而不是AB之间的距离300米，因为两个方向的意义是不一样的。而乙的周期规律是300米重复一次，即矩形CDFE的周长。
求解：根据甲和乙的行走速度，他们行走的时间周期分别是120秒（600÷5=120）和75秒（300÷4=75）。甲第一次从D走向C的时间段是“80秒~104秒”，即第80秒时从右向左经过D，第104秒时从右向左经过C；乙第一次从D走向C的时间段是“45秒~75秒”，即分别在第45秒和75秒从右向左经过D点和C点。也就是说，乙已经离开了DC段，甲才进入DC段。所以我们要继续列出他们后续在DC段上的时间范围。如下图。
从图中的数据可以看到，甲第二次经过DC段是“200秒~224秒”，乙第三次经过DC段是“195秒~225秒”，符合“甲比乙迟进入DC段，早离开DC段”的要求。甲比乙迟5秒到达D点（200-195=5），所以甲到达D点时乙已经离开D点20米（4×5=20）。甲每秒比乙多走1米，所以20秒后能追上乙，即离D点100米（5×20=100），这个位置离C点的距离是20米（120-100=20）。
点评：在这个问题中，用到的知识都是行程问题最基本的内容，解题过程有两个关键点，其一是把问题转换为符合要求的时间，其二是确定甲乙两人的行走周期。题目表面上是一个行程问题，但自然地嵌入了周期问题，然而只懂得套行程问题和周期问题的解题公式的学生，往往没有能力通过分析题目条件导出内层的周期问题。反之，一旦完成了周期问题的导出步骤，后续的具体求解就是手到擒来。
扩展和推广：虽然这个题目本身难度不算大，但我们可以在此基础上增加难度，例如修改甲乙的行走速度和各个路段的长度，或者改变提问对象。下面留两个问题作为习题。
不改变甲乙的行走速度和各路段长度等条件。试求：
1. 甲和乙第一次相遇的地点离C点多远？
2. 甲第二次从背后追上乙的地点离C点多远？
相 关 文 章：
联系客服
