设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度单位 、一个 角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系;
(2)极坐标
①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.
②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.
③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐 标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
易错点:1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件.
2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽视.
注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标.
方法技巧:
1.极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点.
(2)以x轴的非负半轴为极轴.
(3)两种坐标系规定相同的长度单位.
2.直角坐标化为极坐标的注意点
(1)根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.
当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.
曲线的极坐标方程的求解策略
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
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