孩子害怕数学？那是因为你没做到这三条

构建可复制的成全式教育生态

题图：作者在一土数学工作坊

作者：李想。一土学校数学教师，北京大学学士，首都师范大学博士。曾任教于北京师大二附中国际部，主讲并开发多门AP课程和学术荣誉课程，亦对数学学科知识图谱和学习理论有深入理解。擅长启发式教学，所教学生遍布麻省理工、芝加哥大学等北美名校。

我是一名中学数学教师，每当这样跟别人介绍自己时，得到的回应基本有两类：“哇！你一定智商超群” 或者 “天呐，我上学时最怕数学！” 无论怎样，数学似乎都给人带来许多不轻松的回忆，而能学好数学的人则简直就是异类。

算起我直到博士毕业，一共学了22年数学。我考过最低的分数是36分，那是在我初中二年级的时候，所以当我接受在一土学校担任数学教师的工作时，还是有些惶恐地想起了这段黑历史。为什么数学会那么难学呢？回想起当年自己，小学时也曾是奥数的优胜者，于是保送到重点中学的竞赛班，而中学的数学讲的又快又难，稍不留意就会跟不上进度，就像一个段子里说的那样：有一次我低头捡了支笔，然后就再也没听懂过数学课。确实如此，数学课逻辑性很强，如果没有跟上进度，很容易导致失去信心，于是课上更加听不懂，从而陷入一个恶性循环。这种挫败感大概是数学带给我们最多的回忆。

而对于数学成绩还不错的学生，据我的观察，情况也并不能完全乐观：充斥着各种解题技巧的培训班，受众从刚上小学的幼童一直到备战考研的大学毕业生。这些课程最大的卖点就是针对各种选拔性考试来提高学生的分数，而对于学生是否真的理解考题背后的数学思想，并不是买单的家长真正关心的事情。而在许多学校里，一线教师背负着多方的压力，面对着超大的班额，只好采用最直接的讲授法，将数学知识满堂灌输给学生。勤奋的学生通过背下老师的套路而在考试中取得了还不错的分数，毕业时，面对自己刷过的一本本习题集，成就感油然而生，而这，似乎就是数学学习的全部了。

▲图源自网络，侵删

最近公布的PISA2018测试结果，代表中国参加测试的京沪苏浙四省市重新赢回了第一的排名，但这个成绩却令教育界出奇的冷静：因为我们第一的排名是通过巨大的课内外学习时间堆出来的。因此，虽然我们的数学教学成果显著，但效率并不乐观---难道题海战术就是数学教育的宿命吗？

从事数学教育的这些年里，我一直在不断地反思着自己。我希望能通过自己这些年学习和任教数学的经验以及教训来帮助更多的学生高效地学习数学，让他们在离开学校后也能对数学课有愉快的回忆，并能通过数学的素养帮助他们更好地工作和生活。这篇文章里，有着近十年来我在数学教学一线的探索和尝试，也收到了一些不错的效果，希望带着大家去重新认识和理解数学。

知其然，更要知其所以然

现在请你回忆一下，中学数学中一个非常基本的运算规则，你能解释为什么负负得正吗？我们是如何接受这个事实的？也许你会觉得这是显然的，是天经地义，或者像很多老师那样直白地解释：这是规定！显然，这并不是好的数学教育应该达到的效果。其实从数学发展史的角度看，人们对负数的概念的认识并不是一蹴而就的，因此，在课堂上，我通过介绍不同历史时期数学家的论述来进行比较，让学生经历人类文明在探究负数定义与运算的整个过程，从而让学生体会到在本质上负数的运算规则应该与小学时学过的正数运算保持相容性，从这个角度来理解负负得正就是最自然的结果，从而也帮助学生顺利地完成知识上从小学到中学的迁移。这种将数学史融入到数学教学的HPM (History and Pedagogy of Mathematics) 教学法越来越受到师生的欢迎，学习数学史不仅可以提高学生的学习兴趣，同时也可以让学生对于知识的理解更加系统，让学生对数学发展的来龙去脉有更透彻的理解。在课余时间，我还会推荐给学生一些高质量的数学课外读物，让学生有更多机会在文本中接触数学，建立数学思维和文字阅读在大脑中的关联。

有调查显示，造成数学成绩不佳的一个重要原因居然是学生在考试中读不懂题！原因在于学生普遍习惯于求解纯数学表达的题目，而对于所谓的应用题，往往无法将具体的问题与数学知识进行关联，简单说就是不清楚这道题让我干什么。增加专项的数学阅读，不仅能帮助学生在考试中得到这部分分数，更是为了培养学生将来在学习其他学科时，能够将具体的学科知识与学过的数学知识进行关联的能力，真正能做到学以致用。

用数学建模来解决

真实世界的问题

而说到数学的应用，我自己其实算得上是个反面教材。在研究生时代，我读的专业是基础数学，在那时我认为数学的研究就应该是纯粹的，一直想证明学科中最本质的结论。直到要将研究结果写成论文发表时，才发现即使对于基础数学，研究结论能有什么样的应用对于研究成果的价值依然是决定性的！后来作为数学老师，我也曾不止一次被学生问过：“老师，我学这个知识，有什么用？“每当这时，我都有点措手不及，我意识到如果不能学以致用，是很难将数学知识融会贯通的。对于这个问题，跨学科的PBL项目式学习是一个有效的解决途径，而具体到数学学科之内，有一个更为人熟知的名字：数学建模。虽然中学生的数学知识有限，但我相信他们依然有能力去解决一些真实的问题。

举个简单的例子：

每一年，随着老生毕业，新生入学，学校的校车路线都需要调整优化。为了解决这个问题，学生首先要收集数据，包括学生家庭住址，通勤时间，城市的交通拥堵指数等，然后学生需要在地图上建立坐标系，把地址信息用坐标表示，计算出每个人的家校路程，结合拥堵指数设置权重，经过对数据的分析建立和调试模型，最终给出统计结论。

在这个过程，会用到代数里的直角坐标系，几何里的勾股定理，概率统计里的数据分析与呈现，当学生把课本的知识真正运用到实际的情境中，不再认为数学只是一些抽象的数字和符号堆砌，也就将不同章节的数学知识融会贯通，从而形成了正确的数学思维模式。一个好的数学建模题目通常不是教师拍脑门想到的，它需要教师结合课程的内容以及教材中给出的相关探究题目一点点开始挖掘，有时候还需要和不同学科的教师进行头脑风暴。最后，在学生拿到初步的问题后，还依然要和学生不断讨论，结合学生的能力和兴趣确定清晰的解题方向。

▲作为建模案例的校车线路规划图 By.李想

在数学教学中，我们要做的不仅是提升学生的学习兴趣，还应该尽量避免学生在数学学习中产生的挫败感。我发现这和我们采用的评价方式很有关系，很多学生在成年后回忆数学带给他们最痛苦的时刻就是限时考试，想到需要在规定的时间内完成一定数量的题目，绝大部分的学生都会感到压力，而压力并不会帮助学生更高效率的思考。学生为了能够应付这样的考试，不得不熟记套路，试图通过刷更多的题目以期在考场上见到的 “类似”做过的题目，这个学习方式无疑是低效的。

因此我一直认为，在平时的教学过程中，教师应尽量减少限时考试或者测验的次数，避免学生为了考试而学习的功利倾向。 

不论是什么学科，评价的目的在于时时关注学生的状态，这也是保证教学质量的基础。对于数学课，如果发现有学生上课走神，跟不上进度，教师应及时采取干预措施：在课余时间进行个别辅导是一个简单又高效的方法。个别辅导并不是要将课上的内容压缩精讲一遍，这样既不现实也缺乏针对性，而是应该注意听取学生的反馈，从学生的输出中判断学生掌握情况，再因势利导。这样无论是知识上还是方法上的问题，都可以在短时间解决，帮助学生找到信心，及时赶上进度。

数学课里的翻转课堂

 

亡羊补牢，固然有效，但却依然无法阻止学生会不断地在课堂上走神从而导致落后，而究其原因还是我们的课堂没有充分体现学生的学习主体地位。有一次，我在备课时看到了一个非常有趣的教学视频，现在网上有很多这样优质的教学资源，我也会拿来参考，并在我的课堂上讲给学生。我当时忽然想到，我为什么不让学生直接来看这个视频？既然我不生产知识，何必还要去做知识的搬运工呢？

于是，我尝试在一些章节让学生课前先预习教学视频，让他们带着自己的思考来到课堂，我再进一步给他们布置有阶梯难度的学习任务，把学生分成小组，合作学习，共同探究。在我的课堂上鼓励师生之间，学生之间的互动讨论，组成学习共同体。这种翻转课堂的教学方式真正体现了学生的主体地位，同时也满足了学生的差异化学习需求。在我同样任教多年的AP统计学课上，我就坚持了这种教学方法。统计学这门课文字阅读量大，思辨性强，且思维方式和学生之前的数学课有很大的不同。

▲作者在北京耶鲁中心一土中学发布会上

我接手这门课之前，当时的学校平均分在5分制满分只能达到2.08，甚至低于全球的平均水平；在我接手后，起初按照传统的课堂模式教学，尽量把统计学的思想方法讲通讲透，从成绩来看，虽然取得了一些的进步，但也不过勉强与全球平均分持平，而且中间还出现起伏。当时的课堂上学生参与度不高，我一个例子接一个段子地讲，下面还是会睡倒一片。在之后任教的几年里，我尝试并坚持采用了翻转课堂的教学形式，平均成绩一直稳定在3.5以上，学校的满分率更是达到是全球平均的三倍。而比起考试分数更为重要的是，学生很愿意参与到课堂中来进行讨论与分享。每次课上，我会安排2名同学主讲预习视频，主讲同学自然需要尽量把课程内容搞明白，我还鼓励其他同学向他们提问，如果问的问题有一定深度，主讲同学无法回答，还可以组织开展全班范围的讨论，在课堂上做出贡献，表现积极的同学都可以在过程性评价中得到体现。学生的思路被激活，课堂的效率也就提高了很多时候，学生都可以在课堂上就把作业完成，而这样的教学安排还可以帮助学生通过身边的教师和同学的帮助及时解决问题。这个教学方法，亲测有效，很值得推荐。