关于佛山数学青年教师解题比赛第9题的思考

作者：龙宇 佛山市顺德区罗定邦中学

责编：林伟湛

审核：龙宇

问题提出

  今年的佛山市数学青年教师解题比赛，题目新颖，内涵丰富。赛题中的第9题涉及到所有的空间角（线线角、线面角以及二面角），且没有考查具体的运算，而是对三个角大小的判断，考查老师们的空间感，很好地体现了“直观想象”等核心素养。笔者将对本题的理解整理如下，不足之处，请大家指正。

考题

问题提出

   笔者在比赛过程中，使用了特殊值的策略，将点P设为VA的端点，再结合选项的特点，“猜”出了答案。那么本题的常规解法应该怎么做呢？对于角度问题的常见解法是：传统几何法以及向量法。原图形是常规图形，利用两种方法都可求解，但作为选择题而言，这样就“小题大做”了。那么有没有相关的结论或性质可以直接使用呢？（本文不考虑常规解答，现介绍一个模型，利用模型求解）

三面角模型

   如图1，三面角是由具有公共端点的不共面的三条射线，以及任两条射线所成的角的内部构成的空间图形,公共端点称为三面角的顶点，射线称为三面角的棱，两棱所夹的平面部分（角）称为三面角的面（角）.过每一条棱的两个面所成的二面角称为三面角的二面角.

    关于三面角有两个重要定理：正弦定理，余弦定理。这两个定理可视为三角形正、余弦定理的空间形式（读者可参考笔者之前的一篇文章《对一次数学模拟考中立体几何试题的探究及教学建议》,本文就使用了三面角进行求解）。本文不直接使用这两个定理，仅借此模型介绍一个相关结论。

问题解析

综上可知，答案为：B。

解后反思

   笔者在上一学期申报了一项课题《“立体几何”智慧课堂行动研究》，在梳理资料的时候发现了三面角的相关定理，经过笔者的研究发现，这两个定理对解决空间角问题有“奇效”，它可以省略传统几何法中的“辅助线”以及简化空间向量法中的运算。且结论简洁、对称、优美。利用该模型解决上述问题也非常直观。

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