初中几何的学习离不开图形的绘制,作图本身就是就是一个分析思考的过程.在学习几何的过程中,还应把常见、常用到的基本图模型化,通过不断的作图练习、结论证明,才能见一想多,最终利用“顺其自然法”由条件到结论.
以下是最近整理的初中几何学习中常见到的基本图形及结论,大多数知识点也通过动态图形加以展示,强化运动规律.借此机会,感谢大家的关注与分享,如有不对地方,也请加以指正.
结论:∠A+∠D=∠B+∠C.
小结:(1)因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称之为8字模型.
模型2 角的飞镖模型
小结:(1)因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称之为飞镖模型.
模型3 边的8字模型
模型4 边的飞镖模型
如图所示
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
模型2 截取构造对称全等
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
小结:构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进
模型4 角平分线+平行线=等腰三角形
双角平分线模型
模型3 “内外”双角平分线模型
模型5 同旁内角的双角平分线模型
模型6 凹四边形的双角平分线模型
截长补短模型
模型:截长补短
手拉手全等模型
模型1 一般等腰三角形
条件:等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE(顶角相等),点D在BC上运动.
结论6:四边形ADCE是对角互补且邻边相等的共圆四边形,CA平分∠DCE.
模型2 等边三角形手拉手旋转
模型3 等腰直角三角形手拉手旋转
模型2 正方形中的全等
一线三等角全等模型
模型1 同侧一线三等角
平行+中点全等模型
将军饮马
模型1:定直线与两定点(一动两定型)
(一)距离之和最短(化折为直)
1.两侧型:两点分别在直线两侧(基础本质型)
已知:如图①,定点A、B分别位于直线L的两侧.
要求:在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.
作图:连接AB与直线L交于点P,点P即为所求作的点,PA+PB的最小值即为线段AB的长度.
证明:在直线L上任取一点动点P',连接AP',BP'.
在△ABP'中,
∵AP'+BP'≥AB,即AP'+BP'≥PA+PB,
∴当线段AB与直线L相交于点P时,PA+PB最小.
结论:PA+PB最小(AB)
2.同侧型:两点在直线同侧(将军饮马)
已知:如图①,定点A、B位于直线L的同一侧.
要求:在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.
作图:作点A、B任意一点关于直线L的对称点,
连接AB'交直线L于点P,则点P即为所求.
证明:根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线,
由中垂线的性质得PB=PB',要使PA+PB最小,则需PA+PB'最小,从而转化为两侧型.
结论:PA+PB最小(AB').
(二)距离之差的绝对值最大
1.同侧型:
已知:如图①,定点A、B位于直线L的同一侧(A、B两点到L的距离不等).
要求:在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.
作图:连接AB并延长,与直线L交于点P,点P即为所求.
证明:在L上任取一点P'(异于点P),连接P'A,P'B.由三角形三边关系知|P'A-P'B|<AB,即|P'A-P'B|≤|PA-PB|.
结论:|PA-PB|最大(AB).
2.同侧型:
已知:如图①,定点A、B位于直线L的两侧(A、B两点到l的距离不等).
要求:在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.
作图:作点A、B任意一点关于直线L的对称点,
连接AB'并延长,与直线L交于点P,点P即为所求.
证明:根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线,
由中垂线的性质得PB=PB',要使|PA-PB|最大,则需|PA-PB'|最大,从而转化为同侧型.
结论:|PA-PB|最大为AB'.
(三)距离之差的绝对值最小(垂直平分线性质定理应用)
要求:如图①、②,在直线L上找一点P,使得|PA-PB|有最小值.
作图:连接AB,作线段AB的垂直平分线与直线L交于点P,
点P即为所求作的点.
证明:由中垂线的性质得PB=PB,要使|PA-PB|最小为0.
结论:|PA-PB|的最小值为0.
模型2:角与定点(两动一定型)
(一)距离之和最短
1.定点在角的外部
已知:如图①,P点为锐角∠MON外一定点.
要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得PA+AB的值最小.
作图:如图②,过点P作PB⊥ON于点B,PB与OM相交于点A.此时,AP+AB最小.
证明:AP+AB≥PB,当且仅当A,P,B三点共线时,AP+PQ取得最小值PB,根据点到直线的距离,垂线段最短,当PB⊥ON时,PB最短.
结论:PA+AB的最小值为PB.
2.定点在角的内部
已知:如图①,P点为锐角∠MON内一定点.
要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得PA+AB的值最小.
作图:如图②,作点P关于OM的对称点P',过点P'作ON的垂线分别交OM、ON于A、B.点A、B即为所求作的点.
证明:由轴对称的性质得PA=P'A,要使PA+AB最小,只需P'A+AB最小,从而转化为定点在角外部模型.
结论:PA+AB的最小值为P'B.
3.三角形周长最小
已知:如图①,P点为锐角∠MON内一定点.
要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得△PAB的周长最小.
作图:如图②,分别作P点关于直线OM的对称点P',关于ON的对称点P'',连接P'P''交OM于点A,交ON于点B,点A、点B即为所求,此时△PAB的周长最小,最小值为线段P'P''的长度.
证明:由轴对称的性质可知AP=AP',BP=BP'',△APB的周长AP+AB+BP=AP'+AB+BP'',当P'、A、B、P''四点共线时,其值最小.
结论:△PAB的周长最小为P'P''.
4.四边形周长最小
已知:如图①,P、Q为锐角∠MON内的两个定点.
要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得四边形ABPQ的周长最小.
作图:如图②,分别作Q点关于直线OM的对称点Q',P点关于ON的对称点P'',连接P'Q'交OM于点A,交ON于点B,
点A、点B即为所求,此时四边形ABPQ的周长最小,最小值为线段P'Q'+PQ.
结论:四边形ABPQ的周长最小为P'Q'+PQ.
5.两动两定变式模型
已知:如图①,A、B为两个定点,P、Q为动点.
要求:在射线OM上找一点Q,在射线ON上找一点P,使得AP+PQ+QB最短最小.
作图:如图②,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至点A',使得AA'=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n于点Q,交直线m于点P,线段PQ即为所求,此时AP+PQ+QB最小.
证明:由作图过程可知四边形QPAA'为平行四边形,则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时,QA'+QB最小,即PA+QB最小,又PQ长为定值,所以此时AP+PQ+QB的值最小.
模型2
已知:如图①,定点A,B分布于直线m两侧,长度为a(定值)的线段PQ在m上移动(P在Q左边).
要求:确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB的值最小.
解析:PQ为定值,只需要AP+QB最小,可通过平移,使P,Q“接头”,转化为基本模型(将军饮马).
作图:如图②,将点A沿着平行于m的方向,向右移至点A',使AA'=PQ=a,连接A'B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ,即A'B+a.
证明:由作图过程可知四边形APQA'为平行四边形,则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时,QA'+QB最小,即PA+QB最小,又PQ长为定值,所以此时AP+PQ+QB的值最小.
模型3
已知:如图①,定点A,B分布于直线m的同侧,长度为a(定值)的线段PQ在m上移动(P在Q左边).
要求:确定PQ的位置,使得四边形APQB的周长最小.
解析:AB长度已经确定为定值,只需要AP+PQ+QB最小,可通过作A点关于m的对称点,转化为基本模型(将军饮马).
作图:如图②,作A点关于m的对称点A',将点A'沿着平行于m的方向,向右移至点A'',使A'A''=PQ=a,连接A''B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时四边形APQB的周长最小为A''B+AB+PQ,即A''B+AB+a.
中点模型
模型1 倍长中线或类中线构造全等三角形
模型2 三线合一模型
模型3 中位线模型
模型4 斜边中线模型
半角模型
条件:OA=OB,∠AOB=2∠COD.
结论:△ODB≅△OD'A(旋转全等);△OCD≅△OCD'(对称全等).
条件:∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.
结论:如图①△ADF≅△ABG;如图②△ABE≅△ADH(旋转全等);
△AEF≅△AEG≅△AHF(对称全等).
条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.
结论:
(1)EF=BE+DF;(旋转全等、对称全等)
(2)Rt△ECF的周长=2AB;
(3)△ABE的面积+△ADF的面积=△AEF的面积;
(4)AQ=AB;
条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.
结论:
(5)△AOM∼△ADF,△AON∼△ABE;(相似比1:根号2)
(6)△AMN的面积+四边形MNFE的面积=△AEF面积的一半;
条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.
结论:(7)△ANE,△AMF为等腰直角三角形.
条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.
结论:(8)A、D、F、E四点共圆,A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.
条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.
结论:(9)△ANM∼△DNF∼△BEM∼△AEF∼△DAM∼△BNA.
相似模型
模型1 链接:A字型相似
链接:平行A字型相似
模型2 链接:8字型相似
条件:∠OAB=∠OBC.
结论:△OBC∼△OAB.(OB是OC和OA的比例中项)
切割线定理
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