今天,数学世界给大家分享一道初三数学综合题,这道题难度并不大,解决此题关键是正确理解题意,并要灵活运用相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,勾股定理的应用,以及注意对问题进行分类。下面,我们就一起来看这道例题吧!
例题:(初三数学题)如图,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°。若动点P从O点出发,沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发,沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动,设移动的时间为t秒。
(1)求直线AC的解析式;
(2)当t为何值时,△OAC与△PAQ相似?
分析:第(1)问要求直线AC的解析式,思路很简单,就是要求出点A和点C的坐标即可。点A的坐标容易得出,求点C的坐标,需要过点C作CE⊥OA,垂足为E,在Rt△OCA中,根据勾股定理可以求出AC。再利用等积法求得CE的长,即C点的纵坐标,进一步可以求得C点的横坐标,然后利用两点式求得直线的解析式。
第(2)问要求当t为何值时,△OAC与△PAQ相似,由于两个三角形相似可以分几种情况,所以要结合已知条件分情况进行讨论,再根据对应线段成比例即可求得t的值。此题很容易出错的地方就是只给出一种结果,所以一定要注意分类讨论。
解:(1)过点C作CE⊥OA,垂足为E,
∵OA=5,OC=AB=4,∠OCA=90°,
∴在Rt△OCA中,AC^2= OA^2-OC^2,AC=3,
在Rt△OCA中利用等积法,
得5×CE=3×4,
∴CE=12/5,
在Rt△OCE中,OE^2= 4^2-(12/5)^2,OE=16/5,
∴C(16/5,12/5),A(5,0),
设直线的解析式为y=kx+b,
将C(16/5,12/5),A(5,0)代入,(过程略)
可求得直线的解析式为y=-4/3x+20/3。
(2)∵OA=5,动点P以每秒2个单位的速度移动,5÷2=2.5秒
∴当0≤t≤2.5时,P在线段OA上,
此时∠PAQ>90°,△OAC与△PAQ不可能相似。
当t>2.5时,P在OA的延长线上,
①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OCA,
∴AQ/OA=AP/OC,
即t/5=(2t-5)/4,
解得t=25/6,(满足t>2.5)
②若∠AQP=90°,则△APQ∽△OAC,
∴AQ/OC=AP/OA,
即t/4=(2t-5)/5,
解得t=20/3,(满足t>2.5)
综上可知,当t=25/6或20/3时,△OAC与△APQ相似。
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