中考数学压轴题，怎么做比较简洁？矩形上的动点问题

这是2021年浙江衢州中考数学一道压轴题，是一道矩形上的动点问题。这类压轴题一般完成起来都比较繁琐，因此如何比较简洁地完成，也是平时练习的一个重点。

在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF.点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒.

(1)如图1，当t=3时，求DF的长；

(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；

(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两局部的面积之比为1:2时,求相应的t的值.

解：(1)如图1, 当t=3时, AE=3，AB=OC=6，∴点E是AB的中点,

∵D为OB的中点, ∴DE//AF, 又DF⊥DE，EA⊥FA, ∴DF//AE, ∴DF=AB/2=3.

【第一小题这样做是比较完整的，条理也比较清楚。第一行可以简单写成：当t=3时,点E是AB的中点。最后一步用了中位线的判定定理，比运用矩形的性质简便】

(2)如图2，过D分别作DM⊥OA于点M, DN⊥AB于点N, 则四边形AMDN是矩形.

且DM=AB/2=3, DN=OA/2=4, 【三角形中位线定理】

∵∠MDF=∠EDF-∠EDM=90⁰-∠EDM,∠NDE=∠NDM-∠EDM=90⁰-∠EDM, ∴∠MDF=∠NDE,【这里可以考虑直接写成：∠MDF=∠NDE(同角等余)】

∴Rt△MDF∽Rt△NDE, tan∠DEF=DF/DE=DM/DN=3/4. 【在运用相似的边成比例的过程中，顺便把结论给求了】

(3)如图3，分别过E,F作EP⊥AD于点P, FQ⊥AD于点Q, 【两个三角形在AD上有公边底边，因此高的比FP/EQ就是面积比，注意比值有两种情形，一种情形是2，另一种情形是1/2】

易证Rt△AFP∽Rt△EAQ∽Rt△OAB, 【这里如果要证明，就特别繁琐，其实完全没有这个必要】

FP/FA=AB/OB=3/5，FP=3FA/5;EQ:AE=4/5, EQ=4AE/5.【三个直角三角形都是“勾三股四弦五”的关系，这样做是为了把FP与EQ的比，转化成FA与AE的比，因为FA和AE都比较容易用含t的式子表示】

由(2)有FM/EN=3/4, FM=3EN/4. 【(2)中相似三角形边的比例关系的运用】

当EN=AN-AE=3-t时, FA=AM+FM=4+3(3-t)/4=(25-3t)/4,【对应图3的情形】

当EN=AE-AN=t-3时, FA=AM-FM=4-3(t-3)/4=(25-3t)/4,【对应图4的情形，两种情形，EN关于t的表达式不变.当然，图4是没有画出来的必要的。】

当FP/EQ=3FA/(4AE)=(3(25-3t)/4)/(4t)=2:1时，t=75/41.【对应图3的情形】

当(3(25-3t)/4)/(4t)=1:2时，t=75/17.【对应图4的情形】

∴t=75/41或t=75/17.

您觉得这个过程还算简洁吗？