第四节 二阶常系数线性齐次微分方程

             

 [概念 公式 重难点 例题]

1、二阶线性微分方程：

形如

的方程称为二阶线性微分方程，式中

。

当

时，这个方程称为齐次的；

当

时，这个方程称为非齐次的；

当

均为常数时，称为二阶常系数线性微分方程，它的形式是

，其中

是已知常数，且

。

当

时，这个方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，即

二阶代数方程

称为方程

的特征方程。

特征方程的根称为方程

的特征根。

             

 [概念 公式 重难点 例题]

定理1  若

与

是方程

的两个解，则

也是此方程的解，其中

是任意常数。

定理2  若

与

是方程

的两个线性无关的特解，则此方程的通解是：

,其中

是两个任意常数。

             

 [概念 公式 重难点 例题]

本节的重点是二阶常系数线性齐次微分方程的求解问题，解题步骤为：

1、写出微分方程

的特征方程

；

2、求出特征方程的两个根

和

3、根据特征根的不同情况，按下表写出微分方程的通解：

特征方程 的根	微分方程的通解
不等实根
相等实根
共轭复根

4、若问题是要求出满足初始条件的特解，再把初始条件代入通解之中，即可确定

和

，从而获得满足初始条件的特解。

             

 [概念 公式 重难点 例题]

例、求下列二阶线性常系数齐次微分方程的通解或特解：

(1)

(2)

(3)

,

(4)

, 

解：(1)特征方程为

特征根为

故通解为

(2)特征方程为

特征根为

故通解为

(3)特征方程为

特征根为

故通解为

则

由

有

解得

所求特解为

(4)特征方程为

特征根为

故通解为

则

由

得

所求特解为

。