4.2、 土中一点极限平衡条件

概 念： 由莫尔—库伦强度理论，当土体中剪应力等于土的抗剪强度时的状态称为极限平衡状态。 所谓土的极限平衡条件是指达到极限平衡状态时土的应力状态与土的抗剪强度指标间的关系。 考虑平面问题，土体中一点的应力状态可用三个应力分量σ1、σ3、τ描述。

根据作用在单元体上的大小主应力σ1、σ3，可以求出与大主应力作用面呈角的m—n面上的法向应力σ与剪应力τ。

设ds为截面m—n的长度，由垂直截面m—n方向和平行截面m—n方向按静力平衡条件，可得

任意截面上的应力分量表达式

当截面m—n与大主应力面夹角α变化时，则σ、τ的方向与大小也相应改变。它们之间的关系可以由莫尔应力圆地表示出来。

莫尔应力圆圆心：

半径：

不难证明，A点的坐标即为点M处与最大主应力面成角的m—n面上的正应力和剪应力，故莫尔圆上各点的坐标表示相应截面上的应力状态。

根据土体中某点的σ1、σ3，求出任一截面上的法向应力σ和剪应力τ后，可与库伦定律所求出的抗剪强度进行比较来判别该点所处的状态。

也可利用一点的莫尔圆与抗剪强度线的相对位置判断该点的状态。

单元土体上的应力圆与强度线必然是相割、相切或相离三种情况中的一种。

若应力圆与抗剪强度线相离，

，则土体未被剪坏；

若应力圆刚好与抗剪强度线相切（于A点），

，土体处于极限平衡状态；

若应力圆与抗剪强度线相割，

，则土体己被剪坏。

必须指出

，由于土体在 时已发生破坏，土体中剪切面上的 应力状态是不存在的。

根据强度线与应力圆相切的几何关系，可以导出一点极限平衡条件。

利用ΔARD可得如下关系

其中

得，

整理后，得  

同理，得  

对于无粘性土，由于粘聚力为零，则极限平衡条件的表达式可以简化为

        

当土处于极限平衡状态时，极限平衡面与大主应力作用面间的夹角，由图中的几何关系得到

上述公式用主应力表示的土中一点的极限平衡条件。可见，土中一点处于何种状态，取决于σ1和σ3的组合。

当σ1一定时，σ3不断减小；或

当σ3不变，σ1不断增大；或同时减小σ3和增大σ1都能使土趋向破坏。同一种土可以在不同的应力条件下达到极限平衡状态。对于同一种土，若采用不同的围压σ3 ，则使土达到破坏时的σ1显然是不同的，这样就可以得到若干个极限应力圆，作出这些极限应力圆的公切线，即可以得到土的强度参数。