如何理解和区分旋度、散度和梯度？微分学中重要的概念

散度和旋度是向量场的两种度量，它们在很多应用中都非常重要。这两者都很容易理解，只需把向量场看成是液体或气体的流动；也就是说，向量场中的每个向量都应该被解释为一个速度向量。

倒三角符号

假设有一个三个变量的函数——比如说，房间里的温度：T(x, y, z)。我们想把“导数”的概念推广到像T这样的函数，它依赖于三个变量而不是一个变量。

梯度具有向量的形式：

括号中的项是向量微分算子，被称为哈密顿算子或倒三角算子（nabla operator或 del operator）：

准确地说，哈密顿算子是一个作用于T的向量算子，而不是一个乘以T的向量。

可以看出，标量函数的梯度具有非常不同的物理意义。梯度具有以下一般属性：

• 它作用于一个标量函数并得到一个向量函数。
• 梯度总是指向标量函数中变化最大的方向。
• 梯度垂直于一个定值曲面。这个性质将被广泛地用于确定向量场的方向。

哈密顿算子作用的方式有三种：

1. 对于标量函数T：（梯度）；∇T
2. 对于向量函数v(x,y,z)，通过点积：(散度)∇⋅v
3. 对于向量函数v(x,y,z)，通过叉乘：(旋度)∇×v

• 倒三角符号可能不显示

散度

从哈密顿算子的定义出发，构建散度：

向量函数v的散度本身是一个标量。向量函数v的散度本身是一个标量。

“散度”的名字选择得很好，因为∇（倒三角）⋅v是向量v从一个点散开（散度）的度量值。例如下图1中的向量函数。（a）中函数的散度较大（箭头指向外，是正散度）；（b）中函数的散度为零；（c）中的函数的散度也是正的。

• 图1

想象一下站在池塘边。在水面撒上一些木屑；如果木屑散开了，你就是把它们丢在正散度的点；如果它聚集在一起，则你是把它们丢在负散度点。这个模型中的矢量函数v是水的速度，这是一个二维的例子。

例：假设图1中的函数为

计算散度，

旋度

根据哈密顿算子的定义，我们构造旋度：

注意，向量函数v的旋度，是一个向量。

“旋度”也是个好名字，因为∇（倒三角）× v是向量v围绕一个点旋转的度量。因此，图1中的三个函数都具有零旋度，而图2中的函数具有相当大的旋度，指向z方向（右手自然法则）。

• 图2

再想象一下，站在池塘边。你放个小纸船到池塘里，如果纸船旋转了，那么你就是把它放在了一个非零旋度的点上。漩涡是一个旋度很大的区域。

例：假设函数如图2所示

计算旋度

这些旋度指向+ z方向。顺便说一句，它们散度都是零。