1.31函数的基本性质---单调性与最大(小)值
研究函数基本性质的必要性?规律
在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本节内容,正是初中有关内容的深化和提高:给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,既让学生理解到从图象的角度“看”函数的增减变化,又从解析式的角度“算”函数的单调变化,“看”函数图象的变化是让学生获得函数单调性的直观认识,“算”函数的单调变化是从数量关系的角度通过逻辑推理进行理性认识,体现数形结合的重要思想.
实际生活中求解利润、费用的最大与最小,用料、用时的最少,流量、销量的最大,选取的方法最多、最少等问题都涉及到求最值。
一.函数单调性
定义:
1.一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
2.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
增减性整理
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增减函数的几何意义:增函数从左向右看,图象是上升的.函数值变化趋势函数值随着自变量的增大而增大;减函数从左向右看,图象是下降的,函数值随着自变量的增大而减小.
利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤
(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值,且x1<x2;
(2)“作差”f(x1)-f(x2),并将此差式变形
(3)“判号”f(x1)-f(x2)的正负
(4)“结论”根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性.
例1.若f(x)在R上是减函数,试比较与的大小
例2.证明f(x)=在(1,+∞)上是单调递增函数
二.函数最值定义
1、函数最大值的定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0).
2、思考并类比函数的最大值的定义,给出函数最小值的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
例1、下图是函数在区间R上的图象,则函数的最大值_______最小值为________
例2..求函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.
例3.求函数在区间上的最大值和最小值.
例4.求函数在区间[1,4]上的最大值和最小值.
例5.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.
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