角平分线 对角互补模型解题技巧初探

        受何洪领校长安排，从不同角度思考翠屏区2019-2020年八年级数学期末压轴题。此题是一道典型的角平分线+对角互补模型，因为试题比较简单，我们只从不同角度思考第一问.

      原题呈现：

      如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE=90°.交OA于点D，OB于点E；求证CD=CE.

       这是一道典型的角平分线+对角互补模型，以前我在一题多解思路何来中说过角平分线是对称为王，故我们可以先从角平分线来思考本题，因为只要用对称的角度可以轻松搞定本题得到四种解法.

       我们继续思考，角平分线除了对称外，又经常与平行线紧密相连，构成等腰三角形，再加直角可以考虑弦图，于是有了解法5.

      这里我们可以继续依托于∠DCE是直角来思考，看见直角我们会怎么想？想到90°？这思维就显得太蔽塞，其实直角往往可以与旋转联系在一起，故有了解法6和7.

      有的亲可能会说，这里给证法3和4不是一样的吗？这还真不是，从思考的角度一开始就不同，证法3和4是依托于角平分线，证法6和7是依托于直角，但我们可以看证线段关系全等和相似是两大法宝.

      其实我们除了依托于∠DCE=90°以外，还可以依托于∠AOB=90°，如图将△CDO绕点O顺时针旋转90°得到△QFO，连接CF，EQ，易证四边形CFQE是菱形从而得到证法8.

      在一题多解思路何来时，我曾说过解题的思考成双成对的出现，这里也是一样的，我们将△COE绕点O逆时针旋转90°得到△FOQ,连接FQ和FD，同样易证四边形FDCQ是菱形，故有证法9.

       而证线段相等，我们还可以考虑等腰三角形，故证角相等，如何证角相等，其实圆是一大法宝，这里恰好满足对角互补，故四点共圆，故易证∠2=∠1=45°，从而得证CD=CE.