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中考压轴题最短路径问题详解

(1)如图,在直线上取一点P使得PA+PB最小。连接AB与直线交于点P即可。

异侧

(2)将军饮马问题:如图,在直线上取一点P使得PA+PB最小。作点B关于直线的对称点B′,连接AB′与直线交于点P即可。

同侧

(3)如图,在直线上取一点P使得|PA-PB|最大。连接AB并与直线交于点P即可。

同侧

(4)如图,在直线上取一点P使得|PA-PB|最大。作点B关于直线的对称点B′,连接AB′并与直线交于点P即可。

异侧

(5)点A在角的内容,在角的两边上分别取两个点M,N使得△AMN的周长最小。分别作点A关于角两边的对称点A′,A′′。连接A′A′′,并与角的两边分别交于点M,N即可。

(6)点A,B如图所示,在两条直线上分别取两个点P,Q使得AP+PQ+QB最小。连接AB并与两条直线分别交于点P,Q即可。

(7)点A,B如图所示,在两条直线上分别取两个点P,Q使得AP+PQ+QB最小。作点A的对称点A′,连接A′B并与两条直线分别交于点P,Q即可。

(8)点A,B如图所示,在两条直线上分别取两个点P,Q使得AP+PQ+QB最小。分别作点A,B的对称点A′,B′,连接A′B′并与两条直线分别交于点P,Q即可。

(9)第(8)种情况常见的变形。

(10)点A的位置如图所示,点B是水平直线上的一个动点,点P在另外一条直线上。如何确定点P与B的位置,使得AP+PB最小。

过点A作垂线段AB垂直于水平的直线,垂足为B,AB与另一直线的交点P即为所求。

(11)如图所示,第(10)种情况的变形。当点A位于两直线之间时,先作点A的对称点,再作垂线段即可。

(12)造桥选址问题:如图,点A,B位于直线的上方,点C,D在直线上且CD长度等于定值a。如何确定点C,D的位置使得AC+BD最小。

以ACD为边构造平行四边形ACDA′,并作点B的对称点B′,连接A′B′,与直线交于点D′即可确定CD的位置。

(13)如图,∠BOC=90°,△ABC的两个顶点B,C分别在OB和OC上,求OA的最大值。

取BC的中点M,分别连接OM,AM。当A,M,O三点共线时,OA最大。

(14)胡不归问题:如图,点P是角的一边上的动点,如何确定点P的位置使得AP+OPsinθ最小。

以OP为边,构造∠POH=θ,过点A作AH⊥OH交角的一边为点P即可。

(14)阿波罗尼斯圆问题:如图,⊙O的半径r=1/3OA,如何在⊙O上取一点C使得1/3AC+BC最小。

在OA上取一点D,使得OD=1/3OC,连接BD交⊙O于点C即可。

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